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onde, sostituendo nelle (13): 



ha\ i CI d * r r d2jr ' i d * r \ io i 



e due analoghe per w 2 , w 3 . 



In queste equazioni (14), i nuclei sono funzioni armoniche, finite e con- 

 tinue in S. Esse, unitamente alla (12), formano un sistema di quattro equa- 

 zioni integrali, del tipo di Fredholm, delle quali, coi procedimenti dati da 

 Fredholm, si possono ricavare le quattro funzioni incognite 6 , co, , a> 2 , co 3 . 



Poiché è facile riconoscere che il sistema delle (11), (12), (14) è equi- 

 valente al sistema delle (11), (2), (3), è chiaro che sostituendo i valori 

 ottenuti per 0 , o) l , o> 2 , <w 3 nelle (11), avremo le funzioni u ,v ,w che risol- 

 vono il problema proposto. 



# l 



Ponendo (per k diverso da 1): 0 X = — 0, il sistema delle (12), 



a 



(14) si trasforma in un altro del tipo: 



l,w s {x ,y ,z) — 2> ff rs {% ,y ,s ;£ ,rj , f) , rj , 0 dS = R s {x , y , *) , 



(s = 0,l,2,3), 



ove : 



k -4- 1 



X 0 = — An , li = X 2 — ^3 = Art , (O 0 = d l , 



inoltre i nuclei f rs soddisfano alle condizioni: 



(15) f rs (x , y , * ; £ , i} , f) = fsr{£ , r) , £ ; « , y ,z). 



Il precedente sistema d'equazioni integrali si può agevolmente trasfor- 

 mare in un'unica equazione integrale equivalente, con un procedimento indi- 

 cato da Fredholm, e allora si avrà un'equazione della forma: 



Sì(x , y , z) — Jf(x , y , g ; £ , V , f) tì@ , 17 , f) <fc = H(a? , ^ , *) , 



ove .£ è la funzione incognita e t denota un campo conveniente. 



Si conclude allora che la funzione Sì e quindi 0 , , w 2 , a> 3 sono fun- 

 zioni meromorfe del parametro k; lo stesso accade perle funzioni ti,v,w. 

 Ritroviamo così un noto teorema dei sigg. Cosserat, da essi dimostrato per 

 il caso della sfera. 



