— 447 — 



Siccome poi, in virtù delle (15), il nucleo F è una funzione simme- 

 trica, risulta, da un noto teorema di Hilbert che i "polì saranno tutti reali, 

 e inoltre, da un teorema che ho stabilito recentemente, che i poli saranno 

 tutti semplici. 



Si riconosce poi subito che i residui delle funzioni 0 , a>! , w 2 , a> 3 corri- 

 spondenti ad un polo k' costituiscono una quaterna di autofunzioni (Eigen- 

 functionen) delle (12), (14), quindi le (11) forniscono poi, per k = k\ una 

 una soluzione u' , v' , w' delle equazioni d'equilibrio, diversa da zero, e cor- 

 rispondente a tensioni superficiali nulle. 



4. Il sistema delle (12), (14) avrà una sola soluzione, purché k non sia 

 esattamente un autovalore (Eigenwert). A questo riguardo, si può osservare 

 che è facile vedere che, se per un valore determinato k' di k , le equazioni 

 (1), (2), (3), (6) hanno una sola soluzione, prescindendo, s'intende, dagli 

 spostamenti nel moto di corpo rigido (cioè le funzioni u ,v ,w sono identi- 

 camente nulle in S , quando </>! , <p 2 , g> 3 sono nulle su e), allora il valore 

 corrispondente k' di k non sarà certo un autovalore (o polo) per il sistema 

 delle (12), (14). 



Inoltre è facile stabilire che se k^> \ le equazioni (1), (2), (3), (6) 



hanno una sola soluzione. 



Infatti, dalle (16) si ha (ritenendo g>i , <p 2 , g> 3 nulle): 



T( (du . k — 1 . dx . dy dz\ . , . . , . 

 JA U {dn + — ^+ W3 ^- tó2 ^) + ^ + W <-) 



ovvero, trasformando in integrali di volume: 



, du , dco 3 du dwA , ) Jr , 

 cioè, ricordando le (1), (2), (3), (4): 



(16) j^Ju -\-Jv + Jto + & — 2(a>l + a>\ + al) j rfS = 0, 



che può ancora scriversi: 



i{S[(s-^+-]+[^+è)"+-]+(*-s)-i— » • 



Da quest'equazione si trae che se k > \ sono nulle le 6 componenti di de- 



o 



formazione, d'onde segue il teorema enunciato. 



da = 0, 



