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È poi noto che per k = ]- si ha, per la sfera, precisamente un polo 



o 



semplice, quindi, per tale valore, non sussiste più il teorema di unicità. 

 I poli perciò cadranno tra - e — co . 



o 



Si può anche stabilire che i poli debbono essere reali, osservando che 

 se si considerano due quaterne di autofunzioni 6' , col , ct> 2 , (o' ò ; 6", col' , co' 2 ', w'J , 

 corrispondenti a due autovalori k' e k" diversi tra loro, si può dimostrare 

 che esse soddisfano ad una relazione di ortogonalità. 



Infatti chiamando ?/ , v' , w' ; u" , v" , io" gli spostamenti ad esse cor- 

 rispondenti, si ha dalle (6): 



trasformando in integrali di volume, come dianzi, si trova: 



£ | J(u' , u") + J(v' , v") + j(w' , w") + e' e" - 



2 (to[ (ù'i -f- ft^' — }— CO3 CO3') | = 0 , 



che è analoga alla (16); scambiando u ,v' ,w' con u" ,v" ,10", e quindi k' 

 con /i/' , si conclude, essendo U diverso da k" : 



fe'e"dS = 0 . 

 «A 



Da questa relazione si trae subito che gli autovalori sono reali. 



Osservazione. — Il precedente metodo d'integrazione è applicabile 

 anche nel caso in cui le equazioni ai limiti siano della forma seguente, più 

 generale della (6): 



du ad— b((o — co —\ 



dn a dn \ 3 dn 2 dn) ' "' ' 



ove a , b sono costanti, legate dalla relazione: 2a -j- (k -f- 1) b = 2k, neces- 

 saria per la validità delle (7), [0 della (10)]. 



5. Le considerazioni precedenti valgono pure nel caso di un numero 

 qualunque di variabili. Ad es. per due variabili, l'equazione corrispondente 

 della (12) è: 



(12') 



n , is» A-i f / d 2 r . d*r\ al 



n(k +1)6- — - J 8 (— + — -) Oda - 



r / d 2 r _ d*r \ ^ = p 



J a \ dx dr] dy d§ / 



