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Matematica. — Sull'equazione del calore. Nota del dott. Eu- 

 genio Elia Levi, presentata dal Socio Luigi Bianchi. 



1. La teoria delle equazioni lineari alle derivate parziali di secondo 

 ordine di tipo parabolico è assai più arretrata che la teoria delle equazioni 

 di tipo ellittico ed iperbolico, specialmente dal punto di vista delle funzioni 

 di variabili reali. Per esse invero non si conosce nessun generale teorema di 

 esistenza per date condizioni al contorno: furono studiati soltanto il problema 

 di Cauchy (') ed alcuni classici casi di particolari contorni che si presentano 

 nella teoria analitica della propagazione del calore. 



Io mi sono proposto di studiare fino a qual punto si possa per queste 

 equazioni costruire una teoria analoga a quella delle equazioni ellittiche ed 

 iperboliche : ed ho cominciato coll'occuparmi della più semplice delle equa- 

 zioni di tipo parabolico: 



Mi permetto qui di riassumere in breve i risultati ottenuti, riservan- 

 domi di pubblicare più minute dimostrazioni in un prossimo lavoro. 



2. Nessuna limitazione essenziale si introduce nei nostri studi se al- 

 l'equazione (1) si sostituisce l'altra 



poiché quella si può sempre ridurre a questa operando un semplicissimo 

 cambiamento di variabili. Fisseremo quindi d'ora innanzi la nostra atten- 

 zione sopra l'equazione (2). 



(') E noi sappiamo che se le funzioni iniziali nel problema di Cauchy non sono 

 analitiche non esistono in generale le soluzioni del problema. Mi corre qui l'obbligo 

 di notare che questo teorema, che io dimostrai nel mio lavoro, intitolato: Sul problema 

 di Cauchy, e pubblicato nei Rendiconti di questa Accademia [voi. XVI, serie 5 a , 2° se- 

 mestre], era già stato dimostrato dall' Holmgren nella Memoria: Om Cauchy' s problem 

 vici de lineava partiella differentialekvationen al 2: dra ordningen (Arkiv fOr Matematik, 

 Astronomi och Fysik, tomo II, 1905). Così pure l'impossibilità del problema di Cauchy 

 per le equazioni ellittiche era già stata notata dall' Hadamard in una Memoria del Bol- 

 lettino dell'Università di Princeton, che non ho potuto consultare. Anzi questi autori sta- 

 bilirono come la distribuzione dei valori della derivata rapporto ad x debba dipendere 

 dai valori della funzione assegnati sulla retta se — o perchè il problema di Cauchy am- 

 metta soluzione. l>ebbo queste indicazioni al prof. Hadamard. 



(1) 



- -f- a — = f(xy) . (a = cost.). 



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(2) 



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