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tinue insieme colle derivate — , , — , le quali nei punti di una 



Per questa il Volterra (') ha dimostrato che due soluzioni, finite e con- 



~ìx ' Utf 2 ' ~òy 



curva aperta s, (la quale non si stenda all' infinito nel senso delle y nega- 

 tive), i cui estremi si trovino su una medesima caratteristica e giaccia 

 tutta al disotto della caratteristica medesima, prendano gli scessi valori 

 sono identiche in tutto il campo S racchiuso da s e dalla caratteristica 

 medesima. 



Si deducono facilmente di qui due notevoli conclusioni: 



1°: il massimo ed il minimo valore che una soluzione dell'equazione 



assume in un'area S come quella del teorema precedente non possono es- 

 sere presi che su s; 



2° : una successione di funzioni soddisfacenti all'equazione (2) che 

 converga uniformemente nei punti di un contorno s , converge uniforme- 

 mente in S, e la funzione limite rappresenta una soluzione di (2). 



3. Ma la questione più interessante che il teorema precedente ci sug- 

 gerisce è quella di invertire la proposizione medesima: Data una catena 

 continua di valori su una curva aperta s i cui estremi stiano sopra una 

 caratteristica esiste una soluzione di (2) la quale prenda su s i valori 

 assegnati ? 



Prima di accingerci a rispondere a questa domanda premettiamo qualche 

 osservazione. Si noti anzitutto che, spezzando opportunamente il campo S 

 mediante caratteristiche, noi possiamo ridurre il problema generale al caso 

 più semplice in cui s sia incontrata due sole volte da ogni caratteristica: 

 supporremo quindi s formata da due tratti di curva Si ed s 2 , situati nel 

 semipiano delle y positive ed aventi l'origine sull'asse delle x , ed eventual- 

 mente da un tratto dell'asse delle x. Su s x ed s z si avrà rispettivamente 

 x = £ l (y) e x = ^ 2 (y) (%i{y) <C ^{y) per ?/=J=0); quando il contorno non 

 abbia che un punto sull'asse delle x (£ i(0) = £ 2 (0)) esso si dirà di prima 

 specie, quando il contorno contenga un tratto dell'asse delle x (£i(0)<C 

 £ 2 (0)) si dirà di seconda specie ( 2 ). Indicheremo con s{yì) ed S(?/i) le parti 

 di s ed S situate al disotto della caratteristica y = y l : talché pel teorema 

 del n. 2 i valori in $>(yi) di una soluzione di (2) sono determinati dai va- 

 lori su s(j/i). 



(*) V. Volterra, Legons sur Vintégration des équations différentielles etc. professées 

 à Stockholm, pag. 64-65. 



(') Eesterebbe ancora il caso, che sotto alcuni aspetti è ancora più semplice, in 

 cui s contiene un tratto infinito di una caratteristica ed è incontrata una volta sola da 

 ogni caratteristica diversa da quella: per brevità qui non ne parleremo. 



