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dove la %{xy;x'y') è ancora una soluzione di (4) nulla per y = y' ed 

 ovunque regolare entro S(y'), indicando con z una soluzione di (3) otterremo 

 una formula analoga alla (7)! : 



ma noi potremo usufruire della %(xy ; x'y') per modo da eliminare dalla 

 formula precedente in tutto od in parte la — . Così ove si riuscisse a de- 



terminare una funzione di Green % per modo che fosse soluzione di (4) e 

 fosse nulla su y — y' e su Si{y') ed s t (y') si riducesse a — h(£x(y) y ; x'y') 

 e — HZiiy) y ; x'y') rispettivamente, la formula (14) darebbe ogni soluzione 

 di (3) per mezzo dei suoi valori al contorno ('): e basterebbe dimostrare 

 che inversamente ogni funzione del tipo del secondo membro di (14) rap- 

 presenta in tal caso una funzione che prende i valori assegnati sul contorno 

 e soddisfa alla (3) per ottenere una soluzione del nostro problema. 



Se un tratto di s appartiene ad una retta che lasci tutto da una banda 

 il campo S , il Volterra ( 2 ) ha mostrato come si possa trovare una funzione 



Xi{xy ; x'y') che permette di eliminare dalla (14) la — in questo tratto 



di s : con un procedimento alternato se ne deduce una funzione che gode 

 delle proprietà sopra enunciate nel caso che il contorno sia di seconda specie 

 e che Si ed s 2 siano due tratti rettilinei. Quando il contorno fosse di prima 

 specie la funzione si potrebbe ancora costruire, ma avrebbe una singolarità 

 nel punto in cui s t ed s 2 si incontrano ( 3 ). Ragionamenti analoghi a quelli 

 del principio del n. 4 valgono a dimostrare che tale funzione serve real- 

 mente a risolvere il problema d'esistenza in questo caso. 



È facile passare di qui al caso del contorno poligonale spezzando il 

 campo con rette caratteristiche per modo di ridurre questo problema alla 

 risoluzione successiva del problema per campi che si trovano nelle condi- 



(') La determinazione delle funzioni di Green è, come si vede chiaramente, un pro- 

 blema di natura analoga a quella da noi propostoci applicato all'equazione (4) invece 

 che alla (3). Si osservi che quando il contorno è di prima specie della funzione % sono 

 dati i valori su tutto un contorno chiuso ; onde è a prevedersi che in questo caso una 

 funzione % regolare in tutto il campo non si potrà costruire. Realmente la condizione 

 che la funzione sia regolare in tutto il campo è in parte superflua, essa può ammettere 

 singolarità convenienti senza che vengano a mancare le conclusioni tratte precedentemente : 

 ma noi non vogliamo qui trattenerci sull'enunciato più preciso di queste condizioni. 



( 2 ) Volterra, Lecons, pp. 67-68. 



(°) Cfr. la prima nota del presente n. 5. 



(14) 



'n z(x'y') = (h(xy ; x'y') + %{xy ; x'y')) — dy — 



X ;/) 2{X V) | k{Xy 5 XY) [_2{y'-y) dy - ^ + Ir dy - *H ; 



