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zioni precedenti. Di qui poi si passa al caso di una curva qualunque con- 

 siderando questa quale limite di contorni poligonali interni ad essa. 



6. Dimostrato il teorema di esistenza per l'equazione (3) è facile risa- 

 lire da questo al corrispondente teorema per la (2): poiché costruita una 

 qualunque soluzione £ di (2), il problema di trovare una soluzione z di (2) 

 che prenda dati valori al contorno, si riduce immediatamente al trovare 

 una soluzione z — f di (3) che prenda valori pure assegnati. La formula (7), 

 ci permette di prevedere che in generale la funzione 



h{xy\x'y') f{xy)dxdy 



soddisfa a (2): e realmente si dimostra che supposto che in un intorno 



del punto {x'y') la funzione f{xy) sia tale che esistano due numeri posi- 



f{xy)~ f(x'y') . h , „ 4i . 



O, la Ì{xy) ammette le 



tivi a e v tali che , 



\{_{.c — xf + {y — y ) 2 J 



derivate • — ^ , — ; nel punto (x'y') e soddisfa all' equazione (2). 

 ~ùx ~~òy 



Terminerò enunciando una notevole proprietà delle soluzioni dell'equazione 

 (2). Si sa che ogni soluzione dell'equazione (3) è analitica nella variabile x ('): 

 questo teorema si generalizza alle equazioni (2): Se il secondo membro 

 f(xy) dell'equazione (2) è una funzione analitica di x, ogni soluzione 

 di (2) è una funzione analitica di x. E precisamente se {x'y') è un punto 

 corrispondente a valori complessi di x' la cui proiezione reale sia interna 

 a S(y') e che disti di una quantità sufficientemente piccola dal piano reale, 

 detto 2(x'y') il cono proiettante dal punto {x'y') il contorno s(y') il va- 

 lore di z nel punto x'y' è dato da 



zix'y') — —^=- f Mxy ; x'y') \ \~^~ — z — — x \ dy 4- zdx \ — 



— I I h(xy;x'y')f(xy)dxdy. 



La dimostrazione di questo enunciato è analoga a quella indicata da me 

 altra volta per le equazioni totalmente ellittiche (-). 



7. Tutti questi risultati si estendono senza difficoltà al caso delle equa- 

 zioni della propagazione del calore in 2 , 3 , . . . , n variabili : 



~ò 2 u . . ~ò z u ~òu . 



H \~ —7 — — = f(xi xi . . . x n , y) 



1 ' lixl l>y 



(•) E. E. Levi, Sul problema di Cauchy, n. 5 (R. Accademia dei Lincei, voi. XVI, 

 serie 2 a ). Vedi anche Holmgren E., Om Cauchys frollerà ecc. (Àrkiv for Matematik ecc., 

 tomo II). 



( 2 ) E. E. Levi, Sulle equazioni lineari alle derivate parziali totalmente ellittiche 

 (Rendiconti Lincei, voi. XVI, serie 2 a , e Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 

 tomo XXIV). 



