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Dalle (5) e (6) viene 



(7) V — >r = (A -f- fi) (X — fi) = ax , 



e dalla prima delle (4') 



(8) ì-„-« 



e dividendo membro a membro (7) per (8) 



(9) A + ,u = — . 



y 



A loro volta le (8) e (9) dànno subito 



\ 1 = g (P + 9) i 



(10) j 



( /» = 2 ^ ~~ ^ ' 



con 



p = 2axjy , q = ay/2cc; 

 e le (10) permettono di stabilire l'identità algebrica 



tv tv 



per la quale la seconda delle (4') si trasforma nella 



-t + ^- a (V-^) + «y = o. 



Riassumendo, le equazioni nostre (5), (6) e (4') sono sostituibili con le quattro 



od ( .«=!(? -s>. 



I ( « 2 = a 2 — a 2 , 



' ~^ + à (jl3 "" ili3) + ^ = 0 (,) - 



(■) La quarta di queste equazioni ha un interesse geometrico particolare. Proviamoci 

 infatti a derivarla rispetto ad a; otterremo facilmente 



ma 



. 3A Su 



/ — = « — = — « , 



Da 3« 



e dunque 



X -<" = ^> 



che è la prima delle (4'); vuol dire che la superficie d'onda è l'inviluppo delle superficie 



— t + §~ (A* — w 5 ) + «" = 0 . 



