— 601 — 



Matematica. — Sopra alcune equazioni integrali. Nota di 

 Luciano Orlando, presentata dal Oorrisp. T. Levi-Civita. 



Se K(% , y , ... ; £ , jj , ...) rappresenta una data funzione dei due punti 

 % , y , ... ; £ , rj , ... di un campo t ; se , y , ...) rappresenta anch'essa 

 una data funzione del punto x , y , ... ; e se cp è una funzione incognita, la 

 equazione integrale 



(dove X è una costante nota, e dt indica l'elemento del campo r che intornia 

 il punto £ , rj , ...) è stata, in questi ultimi tempi, profondamente studiata. 



Un potente impulso a questo ordine di studi, che hanno condotto a de- 

 duzioni per generalità ed importanza utilissime, è stato dato da I. Fredholm, 

 il quale ha considerato il problema di determinare (f come caso limite di 

 un problema d'algebra; tale concetto era già stato intuito dal Volterra a 

 proposito di un'equazione integrale affine alla (I). Le ricerche ulteriori di 

 D. Hilbert e della sua scuola (nella quale è da segnalarsi principalmente 

 lo Schmidt) hanno approfondito il problema, specialmente in ciò che si ri- 

 ferisce ai valori della costante X. Tali ricerche hanno permesso grandi sin- 

 tesi, mostrando la possibilità di collegare campi, che erano separati fra di 

 loro, ed anche molto difficilmente accessibili. 



In questa breve Nota, noi accenneremo a un problema, il quale costi- 

 tuisce un'estensione di quello finora richiamato. Il nostro accenno, anche per 

 la difficoltà e relativa lunghezza che l'intera ricerca presenta, si limiterà 

 all'esposizione di risultati parziali ed imperfetti: ma abbiamo fiducia che ciò 

 non sia interamente inutile, e che possa rendere non difficile un ulteriore 

 svolgimento. 



Consideriamo l'equazione integrale 



dove / è simbolo di una data funzione. Abbiamo omesso i parametri per 

 brevità di scrittura : fuori dall' integrale si leggerà <p(x , y , ...) , F(«y , y , ...), 

 ed entro l'integrale si leggera K(x ,?/,...; £ , rj , ...) , <j>(£ , 17,...) come 

 nella (I). 



Noi ci limiteremo per ora a studiare la (II) per una forma molto par- 

 ticolare della f; e scriveremo al posto della (II) l'equazione seguente: 



(I) 



<p(x,...) = ]?(x,...) + X\ K(a ; 



£ , ...) g>(§ , ...) dv 



(II) 



(1) 



