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numero < 1 . Nè le acute indagini dello Hilbert ('), dello Schmidt ( 2 ), del 

 Kom ( :! ) sopra l'equazione integrale (1) hanno finora permesso di allargare 

 il campo delle funzioni caratteristiche, per cui vale la teoria del Fredholm. 

 Però in una recente Memoria pubblicata nei Mathematische Annalen, lo 

 Schmidt ( 4 ) ha dato di questi risultati una nuova dimostrazione, che mi 

 pare si presti, con poche modificazioni, ad estendere alquanto il campo delle 

 funzioni caratteristiche, che è legittimo considerare. Io mi propongo di in- 

 dicare qui come ciò possa farsi. 



2. Supporrò che per x variabile nell'intervallo a . . . b l'integrale 



\k(xy)\dy esista e sia uniformemente convergente ( 5 ): assegnato un nu- 

 mero s piccolo a piacere sarà possibile trovare un polinomio ~P(xìj) tale 

 che si abbia 



(2) C\k{xy) — V{xy)\dy 



J a 



Infatti si considerino le variabili x ed y come coordinate in un piano : 

 esse varieranno in un rettangolo R i cui vertici sono nei punti {a a) {a b) 

 (b a) (b b). Fissato un numero 17, si escludano da questo rettangolo i punti 

 e le linee in cui k(xy) cresce oltre ogni limite in valore assoluto oppure 

 è discontinua, mediante intorni t { tanto piccoli che se , l 2 , l s , ... sono i 

 segmenti di una qualunque parallela all'asse delle y interni ad essi si abbia, 

 per ogni x, 



(3) J f\/c(xy)\dy< r , 



J h 



(') D. Hilbert, Grundlagen einer allg. Theorie etc, Gottinger Nadir., 1904-1906. 



( 2 ) E. Schmidt, Entwicklung willkùrlicher Functionen etc, Diss. Gott. 1905, ripro- 

 dotta con aggiunte in Math. Ann. Bd. 63 col titolo: Zur Theorie der linearen undnicht 

 linearen Integralgleichungen. I Theil. 



( 3 ) Korn, Sur Véquation fonctionnelle de M. Fredholm, C. K. 1° semestre 1907. 



( 4 ) E. Schmidt, Zur Theorie der linearen und nicht linearen Integralgleichungen, 

 Zweiter Theil, Math. Ann. Bd 64. In questa Memoria lo Schmidt dimostra il teorema fon- 



damentale nell'ipotesi che la funzione Mxy) sia tale che I k{xy) 2 dy per b e 



%J a 



f 6 



k(xy) 2 dx per a <. b siano finiti. Cfr. l'osservazione finale della Memoria ed 



il § 16 della prima parte (già citata) della Memoria medesima pubblicata nel voi. 63. 



( 6 ) Dire che l'integrale I \k{xy)\ dy è uniformemente convergente per a<L%<.b 



significa che, preso un s piccolo a piacere, si può trovare un & così piccolo che per ogni 

 coppia di valori di y e di x compresi fra a e b, sia 



\k(xy)\dy <e A \k(yx)\dy <e ; 



y—S Jy 



cfr. La Vallèe Poussin, Sur la convergence des intégrale^ définies, n. 61, Journal de 

 Liouville, 1892, IV serie, voi. 8. 



