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ciò potrà farsi in base alla supposta convergenza uniforme degli integrali 



( \k(xy)\dy . Si potrà allora trovare una funzione Te (xy) che in tutti i punti 



di E esterni ai campi r, coincida con k(xy), e nei campi r, sia tale che 

 si abbia ancora 



(4) I (\~k{xy)\dy<r ] ('). 



Si costruisca un polinomio Y{xy) tale che in tutto R si abbia \k(xy) — 

 — P(xy)\<C >j i cosa che per il noto teorema di Weierstrass è sempre possi- 

 bile. Si avrà allora evidentemente, qualunque sia x . ricordando (3) (4), 



(5) 



f \k{xy) — ?(xy)\dy < f \k(xy) — Y{xy)\ dy + 



Y a J a 



+ 2 f I I ^ + 2 Jj* to) I Wn* - «> + 2] . 



Basterà quindi prendere ?j < 75 ; — :— perchè la (2) sia soddisfatta. 



(b — a) -f- 2 



Osserviamo, per completare, che se si suppone che la k(xij) soddisfaccia 

 ancora alla condizione che per y variabile nell'intervallo a . . . b esista 



l'integrale f |#(#z/)[ dx e sia uniformemente convergente (*), si potrà pren- 

 da 



dere ~P(xy) in modo che insieme colla (2) si abbia pure 

 (2), C\k{xy)-Y(xy)\dx<s. 



(') Ciò è evidente e del resto si dimostra come segue. Si può supporre che la lun- 

 ghezza di dei segmenti U interni a ti sia funzione continua dell'ascissa X . Ciò posto sia 

 K il massimo valore di \k(xy)\ in R — -r<; sia m il massimo numero dei segmenti /, che 

 sono sopra una x = cost. Si prenda in ogni campo ti una curva tale che, detta t( 

 l'area racchiusa da yi, i segmenti di una qualunque parallela all'asse delle y interna a 



ti — x{ abbiano somma <— . Per costruire Yi basterà in ogni segmento U la cui lun- 



ghezza sia > segnare i due punti che distano dagli estremi di esso di : 



si chiami y( il luogo di questi punti: risulterà esso di archi accoppiati in modo che 

 quelli di una stessa coppia sono compresi frale stesse parallele all'asse delle y: a questi 

 archi si aggiungano i segmenti di queste parallele all'asse delle y fra essi compresi, e 

 si prendano quali y< ^ e curve chiuse (0 sistemi di curve chiuse) cosi ottenute. Si costruisca 

 una funzione continua che sul contorno di r< sia uguale a k(xy), su y\ e in t'i sia zero, e 

 in Ti — ti sia in modulo sempre < K. 



(-) In particolare quindi k{xy) non potrà divenire infinita sopra tutto un tratto di 

 parallela all'asse delle x, cosa che le ipotesi del principio di questo numero non esclu- 

 devano minimamente. 



