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per ogni valore di y compreso fra a e b. Infatti si potrà allora prendere 

 gli intorni z t dei punti di infinito o di discontinuità di k{xy) tanto piccoli 

 che, detti X x , X t , . . . i segmenti di una parallela all'asse delle x interni 

 a questi campi %i , si abbia insieme colla (3) anche la disuguaglianza 



(3) i 2 fi AMI 



e scegliere quindi la k(xy) in modo che, insieme colla (4) si abbia 



(4) i 2 f \k(xy)\dx< v . 



>J Xi 



Se noi osserviamo ora che un polinomio si può certamente scrivere nella 



in- 

 forma ^cc,(x)^(y), dove a,{x) , a 2 (x) , ... , a [X (x) e p^y) , p t (y) , ... , (t^y) 

 i 



sono polinomi nelle variabili x ed y che si possono supporre linearmente 

 indipendenti, il teorema precedente ci dimostra in particolare che : se la 

 funzione k{xy) è tale che per x variabile nell'intervallo a ... b esista l'in- 

 tegrale C \k(xy)\dy e sia uniformemente convergente (e per y variabile 



nell'intervallo a ... b esista l'integrale I \k(xy)\dx e sia uniformemente 



J a 



convergente) si possono sempre trovare, per fi sufficientemente grande, 

 {i coppie di funzioni a^{x) , P-i(y) delle variabili x ed y rispettivamente, 

 finite e continue per a^x<-b,a<.y^<b e linearmente indipendenti, 

 tali che si abbia 



\\k{xy)-y_a^x) {3s{y)\dy<\ 



(e | k(xy) — g <x,{x) 0„(yj \ dx < lj 



Questo teorema farà l'ufficio del teorema invocato dallo Schmidt nel prin- 

 cipio del § 3 della Memoria citata (II Th.) e dimostrato nella I Th. della 

 Memoria pubblicata nel voi. 63 dei Math. Ann. 



3. Premesso ciò, perchè la dimostrazione dello Schmidt si possa appli- 

 care nelle condizioni più generali in cui qui ci poniamo, basterà mostrare 

 che, se in un'equazione integrale (1) la funzione k(xy) è assolutamente 

 integrabile rapporto ad y e soddisfa alla condizione 



(7) \\k{xy)\dy<C^<l (a<x<b), 



J a 



Eendiconti. 1907, Voi. XVI, 2° Sem. SI 



