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l'equazione ammette soluzione, tosto che la funzione f(x) è atta all'integra- 

 zione e finita (numericamente inferiore ad un numero F). Invero in queste 

 ipotesi si avrà 



f Vy) Ay) dy < f f | k(xy) | < fk 



J a J a 



>b rb 



k{xy,)dy x %, y) f(y) dy 



'b 



<FK |/^,yi)|rfy,<FK 



Quindi la serie di Neumann 



(8) tp{ x ) = f{x)— f k{xy) f{y) dy + ( ( Ky^y) f(y) dy 



converge in ugual grado fra a e b, e rappresenta quindi una funzione atta 

 all'integrazione la quale soddisfa all'equazione (1). 



Si noti che non è necessario ammettere che sia \f(x)\<^F; basta sup- 

 porre che f{x) sia tale che esistano tutti i termini successivi della serie (8) 

 e che uno di essi sia limitato. 



Osservazione I. — Se f(x) = 0 la serie (8) dà la soluzione evidente 

 (p(x) = 0 . Ma si può osservare che quando è soddisfatta la condizione (7), 

 l'equazione omogenea 



(9) <p(x) + Ck(xy) <p(y) dy = 0 



non ammette alcuna soluzione limitata tra a e b diversa da zero : poiché, 

 se è il massimo modulo di una soluzione <p(x) di (9), il massimo valore 



assoluto di P k(xy) <p(y) dy sarà <. <PK , e quindi sarà <[ tranne quando 



J a 



0 = 0. Quindi ancora possiamo dire che, se è soddisfatta (7) e f{x) è finita, 

 l'unica soluzione finita di (1) è data (8). 



Di più, se supponiamo che k(xy), oltre a soddisfare a (7), sia pure asso ■ 

 lutamente integrabile rapporto ad x e l'integrale converga uniformemente 

 rapporto ai vari valori di y e soddisfaccia alla limitazione 



(10) [ b \k(xy)\dx = X (y)^Ki<l, 



noi possiamo dire che la (9) non ammette nessuna soluzione assolutamente 

 integrabile diversa da zero. Si osservi perciò che se è verificata la (10) e 

 (f(x) è assolutamente integrabile, esisterà l' integrale 



{ \<p{y)\dy f \k(xy)\dx = f x{y)\<f{y)\dy <K, j \g>(y)\dy. 



J a J a, *J a -'a 



