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Ma di più siccome f \k(xy)\dx è per ipotesi uniformemente convergente, 

 esiste l'integrale superficiale J^J|<K^)| . \k(xy)\ dxdy e si ha 



[ {\<f{y)\-\k(xy)\dx dij = \ W{y)\dy C \k(xy)\dx (') . 



D'altro canto si ha, se si suppone che q(x) soddisfaccia all'equazione (9), 

 in virtù della (9) e della (10) ( 2 ) 



j 1 9 (x) | dx < JJ | <f{y)\\ k(xy) \ dx dy = 



tatmtob in ' C h C b ftWr.(, *HII!ìììg'> nìlf C b 



= \<P{y)\dy \k{xy)\dx \<f{y)\dy < \y{y)\dy, 



•J a «- / a a J a 



e tale relazione è assurda tranne quando sia f 1^(^)1^ = 0 ossia (p{x) — Q. 



J a 



Osskrvazione IL — Osserviamo ancora che nelle condizioni generali 

 qui supposte, non si può parlare di risolvente dell'equazione (1), e cioè di 

 una funzione %(x , Xi) tale che 



x{x f k{xy) xiyxì) dy = kixxy) ; 



poiché la funzione kfax^ non soddisferà, in generale, alle ipotesi fatte per 

 f(x), e noi non potremo neppure assicurare che abbia senso l'integrale 



f k(xy) k{yxi) dy. 



J a 



(') Invero perchè esista f C\ f(xy) \ dx dy e sia= C dy C \f(xy)\dx basta che 



J JR Ja Ja 



I \f( x y) \dx sia uniformemente convergente tranne che nei punti di un insieme di mi- 

 sura nulla nel senso di Jordan: nel nostro caso sono questi i punti di infinito di cp(y). 

 Cfr. La Vallèe Poussin, Journal de Liouville, 1892, tomo 8, serie IV. 



( 2 ) Invero dall'esistenza dell'integrale k(xy) q>(y)\ dx dy segue con ragiona- 



menti analoghi a quelli del Pringsheim (Miinchener Ber. 28-29, 1898-1899) che esiste 

 I \k\xy) <p{y)\ dy tranne che nei punti x di un insieme di misura nulla nel senso di 



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Borel-Lebesgue. Ma quando ha senso | k{xy) . qiy) \ dy , si ha da (9) 



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\<p'x)\<_ \ \k{xy)(f>[y)\dy. 

 Onde la disuguaglianza del testo. 



