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4. E dopo ciò la dimostrazione dello Schmidt si potrà riprodurre con 

 ben poche modificazioni. Osserviamo infatti collo Schmidt (§ 2) che, quando 



la funzione caratteristica è del tipo k(xy) = u-,{x) ^{y)., la ricerca delle 



soluzioni di (1) assolutamente integrabili si riduce alla discussione di un 

 sistema di fi, equazioni lineari ordinarie : e che si ottiene quindi che o esiste 

 la soluzione di (1) qualunque sia f(x) e tale soluzione è unica, oppure esi- 

 stono soluzioni della corrispondente equazione omogenea 



<f(x) + f k(xy)y(y)dy = 0. 



J a 



Presa allora un'equazione (1) qualunque la cui funzione caratteristica 

 soddisfaccia solo alle condizioni imposte al principio del n. 2, si determi- 

 nino le a, H {x) , §t{y) secondo quanto è indicato in quel numero: e posto 



fi. 



k{xy) — >_«,(#) p,{y) — k,{xy) , 

 ì 



si costruiscano le serie 



=/•(#)- { h Hxy)f{y)dy + 



J a 



+ \ k x {xy,)dy, f k ì (y l y)f(y)dy+- ■■ 



(11) 



v ' rb 



Av(^) = a^(x) — | k,{xy) cc.,(y) dy + 



+ [ ^{xy^dy, \ k{y i y)a,{y)dy-\- 



le quali per le considerazioni del numero precedente quando f{x) sia finita 

 convergono e rappresentano funzioni finite che risolvono le equazioni 



f,{x)-\- Ck^mdy^fix) 



J a 



(12) fb 



k. t {x) -f k^xy) dy = a^(x) . 



J a 



Ma la (1) si può scrivere 



rb p_ rb 



(p(x)-\- ) k^xy) (f{y) dy + y_a,(x) \ fa{y) <f{y) dy — f{x) = 0 . 



J a ] <J a 



Sostituendo in questa i valori di a t (x) e f(x) dati da (12) si avrà 



(13) L Ja J 

 +j\{xy) ^j(y) + 2My) J a M*) 5pÌ>0 A(y)J dy = 0. 



