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Si ponga 



#(*) = sp(«) + £440 fWy) *>(y) # - ; 



la (13) diverrà 



Q>(x) + f <lij = 0 . 



Ma se si suppone che f(x) e <p{x) siano finite, <b(x) sarà pure finita : 

 e ciò, perchè Q>(x) soddisfa all'equazione precedente e per l'osservazione I 

 del n. 3, non può essere se non è 4>(x) = 0; quindi affinchè la funzione tp(x) 

 supposta finita, soddisfaccia all'equazione (1) è necessario che 



(14) cp(x) + f(V À,(«) p,(y)) <p{y) dy = f^x). 



J a 



Ed inversamente se (p(x) soddisfa la (14), essa è soluzione di (1) in virtù 

 di (13) e di (12). 



Ma l'equazione (14) ha per funzione caratteristica la somma di un nu- 

 mero finito di prodotti di funzioni della sola x per funzioni della sola y , 

 onde, come dicemmo in principio di questo numero, essa si riduce alla riso- 

 luzione di un sistema di equazioni lineari ordinarie. E potremo conchiudere: 



Se si suppone che la funzione k(xy) sia assolutamente ed uniforme- 

 mente integrabile rapporto ad y per x compreso fra a e b, possono aversi 

 per l'equazione (1) due casi: 



1°. Non esiste soluzione finita e diversa da zero dell'equazione 

 omogenea 



(15) if(x) + f k(xy) (f{y) dy = 0; 



J a 



l'equazione (1) è allora risolubile appena si supponga che f{x) sia finita; 

 ed allora essa ammette una sola soluzione finita. 



2°. Esiste una soluzione finita dell'equazione (15). Non si può allora 

 assicurare che esista una soluzione di (1) per qualunque funzione f(x): 

 quando ne esiste una, ne esistono parecchie differenti fra loro per una 

 soluzione di (15). 



Basta osservare che se non esiste soluzione finita di (15), non esiste 

 neppure soluzione finita dell'equazione omogenea 



<p{x) + f 6 (2Av(^) Hy)) sp(y) # = o 



J a 



corrispondente a (14) e inversamente. 



Questi risultati si completano quando si suppone che k(xy) soddisfaccia 

 alla seconda condizione del n. 2, cioè quando si suppone che k{xy) sia 



