Matematica. — Integrazione dell'equazione funzionale che 

 regge la caduta di una sfera in un liquido viscoso. Nota I di 

 Tommaso Boggio, presentata dal Corrispondente Levi-Civita. 



Se una sfera si muove di moto lento (tale cioè che si possano trascu- 

 rare i quadrati e i prodotti delle componenti della velocità e loro derivate) 

 in seno ad un liquido viscoso, incompressibile, indefinito, in guisa che il 

 suo centro percorra, con velocità qualsiasi, una retta, essa incontra una re- 

 sistenza che si sa calcolare, e che, per un generico istante t, dipende in 

 modo funzionale dai valori della velocità e della accelerazione in tutto l'in- 

 tervallo di tempo che va dall'istante iniziale fino all'istante t ('). 



Conoscendo la resistenza che la sfera incontra nel suo movimento, è 

 naturale il proporsi lo studio del moto della sfera nel liquido. Supponendo 

 che la sfera e il liquido, essendo soggetti alla gravità, siano inizialmente 

 in quiete, l'equazione funzionale alla quale deve soddisfare la velocità della 

 caduta della sfera, è stata stabilita dal Basset ( 2 ), il quale 1' ha pure inte- 

 grata per approssimazione, nel caso in cui il coefficiente di attrito del liquido 

 sia molto piccolo. 



In una Nota recentissima, che ha lo stesso titolo della presente (Ren- 

 diconti di questa Accademia, 2° semestre 1907), il Picciati ha integrato 

 tale equazione, qualunque sia il valore del coefficiente d'attrito ; egli ottiene 

 l' integrale espresso mediante serie, ricorrendo al noto metodo delle appros- 

 simazioni successive. 



In questa Nota io tratto il caso generale in cui il liquido e la sfera, 

 essendo soggetti alla gravità, il liquido ha inizialmente un determinato stato 

 di moto, e la sfera è lanciata (verticalmente) con una data velocità iniziale. 



Io risolvo l'equazione funzionale a cui soddisfa in tale ipotesi la velo- 

 cità, mediante soli integrali definiti. 



Ottengo questo risultato applicando semplicemente la celebre formola 

 d' inversione di Abel, mediante la quale riesco a dedurre dall'equazione 

 funzionale data, una equazione differenziale ordinaria di 2° ordine, a coeffi- 

 cienti costanti. Tale equazione differenziale si integra con procedimenti assai 

 semplici, che permettono di ottenere la funzione incognita (velocità della 

 sfera) espressa mediante quadrature. 



Dal mio metodo d' integrazione apparisce che l' integrazione dell'equa- 

 zione funzionale in questione, che, anche nel solo caso particolare in cui la 



(') Picciati, Sul molo di una sfera in un liquido viscoso, formola (25) (Rendiconti 

 di questa Accademia, 1° semestre 1907). 



( 2 ) Basset, A Treatise on Hydrodynamics, voi. II, pag. 291 (Cambridge, a. 1888). 



