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Sostituendo nella (11) ad F il suo valore (8), facendo delle integra- 

 zioni per parti, e ricordando le (12), si ottiene: 



Y(t) = ^ | (Xv + fl^V- y(t) dr - 



(13) 



I* r — u \x 

 - (Xv + 4)V,j- ^ j (fe + Jf e* )>(*) - 



— /< J/v o | e 61 «t ) 7 — -J- 

 Jq y% — u 



+ Xpvy'v V 0 ^— — (Xv + «) V 0 . 



<o j/r ; 



Non è difficile verificare che questa espressione di Y(t) soddisfa effet- 

 tivamente alle (5), (6); però siccome occorrono, per questa verifica, calcoli 

 alquanto lunghi, per quanto semplici, non staremo a riportarli qui ; ci limi- 

 teremo a fare in seguito la verifica per un caso particolare. 



Supponiamo invece a = b; dalla (10) si deduce allora con una seconda 

 integrazione : 



e - at Y(t) = )du f V aT F(t) dx + c x t + c 2 , 



J 0 J 0 



ovvero, integrando per parti: 



(11') Y(t) = te at )e- a -F(T)dt—e at Cx e~ a ~ ~F(x) dx Ci t e at -{- c 2 e a < , 



Jo J o 



la quale formola, del resto, potrebbe pure dedursi dalla (11) con un pas- 

 saggio al limite. 



Per le costanti c x , c t si trovano i valori : 



(12') <?i = y 0 — fb' + aJV, , e 2 = V 0 . 



Sostituendo nella (11') ad F il suo valore (8), e facendo delle integrazioni 

 per parti, si trova: 



Y(t) = t e at | (Xv + a) J^e~ aT K*) dz — 



— iiyva e~ a - dr -*j=È= -\- Xpv f v V 0 — -j=- — 

 Jo Jo |/r — u Jo y x 



— (Xv + a) Vo j — e a( j (Av + a) f re"» T y(r) <fr — 

 + fiyv e" a ' dr ^M= + y v V 0 V 0 , 



•^c v/o |/t — u Jo yt ! 



