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Le altre condizioni ai limiti provengono dall' esprimere che tanto il fondo 

 y — 0 , quanto la linea libera l sono lìnee di flusso, cioè dirette come la 

 velocità. 



Indichiamo con s l'arco di una generica linea di flusso, contato a par- 

 tire da una origine arbitraria nel senso del moto (ovunque hen determinato, 



per essere V ^> 0). Saranno J^ì^ i coseni direttori della tangente nel senso 



del moto, e avremo, sopra una tale linea, 



dx u dy v_ 



ds~ V ' ~ds ~ V ' 



donde, in virtù delle (1) e (2), 



dy dx .~ò(p dy y 



ds ~òx ds ~òy ds 1 



dxp ~òxp dx l>xp dy 



ds ~òx ds ~òy ds 



La seconda equazione mostra che xp si mantiene costante sopra ogni 

 linea di flusso; reciprocamente questa circostanza caratterizza una linea di 



flusso, perchè, se -j- si annulla, lungo una qualche linea, ne segue 



dx . dy 



cioè la tangente ha la direzione della velocità. 



In 0 si è attribuito a xp il valore zero ; sarà perciò, qualunque sia x , 



(4) xp = 0 , per y — 0. 



Volendo fissare il valore (costante) di xp sopra l, basterà integrare la (2) 

 da un punto generico del fondo ad altro, pure generico, della linea libera 

 (seguendo un cammino qualsiasi interno a L). Integriamo per es. lungo Lasse 

 delle ordinate da 0 sino all'intersezione A dell'asse con l . Avremo, essendo 

 zero il valore di xp in partenza, e designando con q il cercato valore d'arrrivo. 



= udy , 



J Oh 



quantità essenzialmente positiva, per l'ipotesi supplementare relativa alla u ('). 

 Ne consegue 



(5) xp = q , in ogni punto di l . 



Va notato che, in tutti i punti del campo L , la xp rimane compresa 



(') Si osservi che, essendo 1 la densità del liquido, q= \ udy non è altro chela 

 portata del moto relativo per unità di larghezza del canale. 



