Infatti, sapendosi che f{z) varia in S , mentre z varia in L , e che 



le proprietà delle funzioni y e ip , rilevate nel n. precedente, permettono 

 di asserire quanto segue: 



1. Mentre (nel piano del moto) z percorre l'asse reale da x = — oo 

 a # = + 00 , anche / percorre (nel suo piano) l'asse reale, sempre nel senso 

 delle ascisse crescenti, da cp = — co a <p == -f- co . 



2. Mentre s percorre la linea libera / , diciamo nel senso delle ascisse 

 decrescenti (con che si viene a descrivere l'intero contorno del campo L , 

 sempre in uno stesso verso), f percorre la parallela tfj = q all'asse reale, 

 l'ascissa <p decrescendo costantemente da -j~ 00 a — 00 • 



3. Ad un generico punto z del campo L corrisponde nel piano f un 

 punto della striscia S , compresa fra l'asse delle ascisse ip — 0 e la paral- 

 lela xp = q . 



Con ciò siamo autorizzati a concludere che la funzione f(z) porge la 

 rappresentazione conforme di L su S . 



df 

 dz 



non si annulla mai, basta che vi sia biunivocità di corrispondenza fra i 

 contorni, perchè reciprocamente ad ogni punto / di S corrisponda uno ed 

 un solo punto z di L ('). Si può così riguardare z come funzione uniforme 

 di / entro la striscia S . 



Tale funzione è manifestamente reale sopra l'asse reale, regolare al 

 finito, assume sulla xp = q la successione di valori, che compete alla linea 

 libera l , ecc. 



Naturalmente, anche la w = u — iv , funzione regolare di z in L , si 

 può pensare funzione dell'argomento /, pel tramite di z : come tale, essa 

 si comporta regolarmente al variare di f entro S, resta finita all' co , e sempre 

 diversa da zero, assume valori reali sull'asse reale (perchè v = 0 sul fondo, 

 cioè per ip = 0), ecc. 



In virtù della (7), le due funzioni z(f),w(f) sono legate dalla rela- 

 zione 



(7') - = — • 



5. — Riflessione. Equazione funzionale caratteristica. 



Le funzioni z(f),w(f), definite in tal modo entro la striscia S, sono 

 entrambe reali sull'asse reale xp = 0 . Ne consegue, per il noto principio 

 della riflessione analitica di Schwarz ( 2 ), che esse sono prolungabili analiti- 



(*) Cfr. per es. Osgood, Lehrbuch der Funktionentheorie [Leipzig: Teubner, 1907], 

 Cap. Vili, § 5. 



( a ) Cfr. per es. Darbous, Ler.ons sur le théorie generale des surfaces, Voi. I [Paris: 

 Gauthier-Villars, 1887], pag. 174-175. 



