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camente nella sottostante striscia xp = 0 , xp = — q , assumendo quivi valori 

 coniugati a quelli, che loro spettano in S . Più precisamente, se in un punto 

 generico (p -\-ixp di S è 



( « (<P + ity) = x + ìjf , 

 ( W (xp + i*p) = u — tv , 



nel punto coniugato xp — ixp della striscia riflessa si avrà 



j z(xp — ÌXp) = Z — ÌìJ, 



\w(xp — ixp) == u — (- ?y . 



Riferiamo in particolare queste equazioni al valore xp = q (cui corri- 

 sponde nel piano é la linea libera /). 



Avremo dalle due prime di ciascun gruppo, per sottrazione, 



2y = — i \g (xp, + » ? ) — * (5P — tgr) j ; 



e dalle altre, per moltiplicazione, 



V 2 = w (<p -j- ^) w — iq), 



y e V riferendosi, per un medesimo valore di 9, ad un medesimo punto 

 di l. 



Con ciò la condizione (3), caratteristica delle linee libere, si può pre- 

 sentare sotto la forma 



(3' ) w(xp-\-iq) w (xp — iq ) — ig\ s (xp + iq) — z(xp — iq) \ = cost. 



Qui interviene l'osservazione essenziale che si tratta di funzioni anali- 

 tiche. La (3'), ricavata per xp reale, rimane necessariamente valida per qua- 

 lunque valore dell'argomento, appartenente al campo di esistenza. Si può 

 dunque scrivere il generico argomento f al posto di xp. Se poi si deriva 

 rispetto ad f, si elimina la costante del secondo membro, e si ricava, tenendo 

 conto della (7'), 



(E) jjfa(f+m^^<ù\-ig\ ^(7qi^)i^..^7— ^I'tt'^Ì 



equazione mista (cioè insieme differenziale e alle differenze finite) nella 

 sola 10 (f). 



È facile rendersi conto che la (E) caratterizza sostanzialmente il pro- 

 blema meccanico, tutto essendo ricondotto alla determinazione di integrali 

 w(f) di (E), reali sull'asse reale, regolari nella striscia xp = ±q , finiti 

 all' 00 , e tali che la parte reale u non scenda mai al disotto di una co- 

 stante positiva (del resto comunque piccola). 



