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Le (4) e (5), perchè l'asse reale y — 0 e la linea l corrispondono ordina- 

 tamente a xp = 0 e a xp = q. La (3), per l'ipotesi fondamentale che w (/) 

 sia integrale della (E) : basta riflettere che da (E) si ripassa a (3') integrando 

 rispetto ad f e considerando in particolare valori reali dell'argomento. La (3 f ) 



Val la pena di rilevare che la equazione (E) si trasforma in se stessa, 

 cambiando / in — /. Ne viene che, se w (f) è un integrale, lo è pure -w ( — /). 



Le onde di tipo permanente si chiamano oscillatorie quando, procedendo 

 di un tratto costante X [lunghezza d'onda) nel senso della propagazione, lo 

 stato di moto della massa fluida si riproduce identicamente. 



Ciò vai quanto dire che u(x ,y),v(r, y) sono funzioni periodiche di x, 

 di periodo X . 



Indichiamo alcune conseguenze di questa ipotesi. 



Anzi tutto le differenze 



sono due costanti (perchè si annullano le loro derivate, tanto rapporto ad x , 

 quanto rapporto ad y). Per valutarle, possiamo porre per es. y = 0. Siccome 

 ip = Q per y = 0 , così si riconosce che ip , al pari di u , v , è funzione 

 periodica di x . 



Designando poi con w la differenza costante <p (x -f- X , y) — <p (x , y), 

 si può scrivere, ponendo anche x eguale a zero, 



donde apparisce che co è essenzialmente positiva. 



Ne viene, pensando alla corrispondenza fra il piano z e il piano /, che 

 ad una traslazione di ampiezza A nel primo fa riscontro una traslazione di 

 ampiezza co nel secondo, l'una e l'altra nel senso positivo dei rispettivi assi 

 delle ascisse. 



Una funzione di z , che rimanga invariata per una tale traslazione, che 

 ammetta cioè il periodo reale X , diventa così, quando la si esprime per /, 

 funzione periodica di tale variabile col periodo reale w ; e reciprocamente. 



L'ipotesi che si tratti di onde oscillatorie si traduce compendiosamente 

 nella periodicità della funzione di variabile complessa io (z). Si può sostituirvi, 

 in base all'osservazione ora fatta, la periodicità di w(f), e ritenere che: 

 Condizione necessaria e sufficiente, affinchè le onde, definite da un in- 

 tegrale io (f) della (E), siano oscillatorie, è che la w(f) ammetta un pe- 



Kendiconti. 1907, Voi. XVI, 2° Sem. 104 



è poi equivalente alla (3). 



C. D. D. 



6. — Onde oscillatorie. 



(p (x + X , y) — (p [x , y) , 

 ìp (x -1- X , y) — xp (x ,y) , 



co = 



