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Come è ben noto, ogni funzione io (f) , regolare nella striscia S(xp = z±q) 

 e avente per periodo w, diventa, per la (10), funzione dell'argomento £, 

 uniforme e regolare nella corona circolare C , che viene a corrispondere nel 

 piano £ alla striscia S del piano /. 



Posto 



(11) 



(con che a risulta una frazione propria), la corona C si trova limitata dalle 



due circonferenze I £ j = a internamente e I ? I = - esternamente. 



a 



La equazione (E), per le (10) e (11), diviene 



(E') ^\ W ^ )W (Ì)\^^)' ^=0, 



dì ( K \aj ) 2n { tv {u%) 



io 



(I) 



eie condizioni qualitative, imposte alla io saranno le seguenti: essere rego- 

 lare in C , reale sulla circonferenza \ £ | = 1 , e tale che la sua parte reale 

 u resti in tutta la corona al disopra di una costante positiva. 



La (E') ammette una trasformazione in se stessa, che proviene, come è 

 naturale, pel tramite della (10), da quella già avvertita per la (E). Si 

 tratta — come del resto appare direttamente dalla (E') — dello scambio 



di £ in ^ . Perciò ogni soluzione io (£) della (E') dà luogo ad una seconda 



soluzione w 



(I) 



7. — Soluzioni approssimate. Onde oscillatorie semplici. 

 Equazione di Airy. 



Supponiamo che la perturbazione ondosa sia molto piccola di fronte alla 

 velocità di propagazione c , che è il caso interessante per la pratica. Allora, 

 ponendo 



(12) w=«(l + f) 



(talché \io — c j = c \ e | rappresenta, in valore assoluto, la velocità assoluta 



w — c ^ 



della perturbazione ondosa), potremo ritenere trascurabile |s| 2 = J -- , e 



quindi ogni termine d'ordine superiore al primo, rispetto ad e. Con ciò, por- 

 tando nella (E) il valore (12) di w, si ha la equazione lineare in e, carat- 

 teristica delle soluzioni approssimate: 



(13) jf\<(f + «*) + *(/V H) i + f I *(/"F H) -s(f-iq)[ = 0. 



