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e, per la (7'), avvertendo che si deve prendere £ = 0 per f=0, 



(16) z = -\f— £-sen — '-[. 



c ( ' 2n co ) 



Segue di qua che / differisce da cz per un termine di primo ordine in y. 

 Perciò, trascurando sempre y 2 , la (15) può essere scritta 



(15') io = e j 1 -j- y cos g ì . 



( w ; 



Dalla (8), o più direttamente dalla (15'), apparisce che, fra la costante co 

 e la lunghezza d'onda A , passa la relazione semplicissima 



(17) A = ^ . 



e 



L'equazione parametrica della linea l si ha manifestamente dalla (16), 

 ponendo f= y> -f- iq e separando il reale dall'immaginario. Coli' approssima- 

 zione convenuta, si può sostituire, nella espressione di y , ex al posto di (p 

 e si ottiene 



q 1 yco ( 2n 2n ) 



y = - — — — sen — (ex + io) — sen — (ex — iq) . 

 ? c 2ic 2?r ( co K 1 11 co v i7 ) 



Il valore medio di y al variare di x , per un periodo, è manifestamente - , 

 talché 



(18) h= q - , 



conformemente alla osservazione generale del n. precedente [cfr. la for- 

 mula (9')]. 



Mediante le (17) e (18), le due costanti co e q rimangono espresse per 

 elementi direttamente accessibili all'osservazione (la velocità <?, la lunghezza 

 d'onda A e la profondità media h del canale). Sostituendo nella precedente 

 espressione dell'ordinata della linea libera, si ha la nota forma (sinusoidale) 



yA e * — e x 2nx 

 y = h — — cos —r- . 



J 2n 2 A 



Sostituendo invece nella equazione fondamentale (13) (fra e, co ed a = e w ) 

 si ritrova la classica relazione di Airy (') 



4 gl e K — e ~ k 



c = 2ti 2 ~ h ' 



e >• + e x 



0) Cfr. per es. Lamb, loco cit., Art, 228; oppure Appell, Tratte de Mécanique ra- 

 tionnelle, T. Ili [Paris: Gauthier-Villars, 1903], pag. 468. 



