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Le (12) e le (13) formano un sistema di 24 equazioni dalle quali eli- 

 minando le quindici costanti a e b , si ottengono le equazioni seguenti fra 

 le sole a: 



— <*i+l,i) (« t ,i + «,+ l„ + l) = 0 , 



3 



( a t,i+l + «/+2„) («i+l,i+2 «,+2, J+ 2) («« + «i+lrf+0 = 0 , 



(«M+l «i+1,0 («£+I,£+2 + ) (%«-*,< («ii+^+l.i+l)— 0, 



potendo, nella l a , 3 a e 4 a di queste equazioni, l'indice i assumere i valori 

 1,2,3 e gli indici essendo eguali quando sieno congrui rispetto al mod. 3. 



5. Le equazioni (14) del primo rigo ci mostrano che possiamo distinguere 

 quattro casi a seconda che nessuna, una, due, o tre delle differenze a U j — 

 si annullano. Però le equazioni (14) del 3° e 4° rigo mostrano che quando, 

 per un determinato valore di i, sia a, , +1 — a i+hi = 0, basta che una delle 

 altre due differenze 



— G*£+2,t+] i a ì+2,i — &ì,v+ì sia diversa da zero 

 perchè si abbia di necessità anche a u -J- a t+hi+2 = 0 . Si conclude di qui 

 che i quattro casi precedenti si riducono soltanto ai due casi: 



1°. a lJ+ì — a i+lii = 0,2 = 1,2,3 ; 2°. a u ■ -f- « £+M+1 = 0 , i = 1 , 2 , 3 . 



1°. Nel primo caso le (14) sono, senz'altro, identicamente soddisfatte, 

 mentre le (12) e (13) ci danno: 



a i,j'~ Ki == 0 , i=\=j ; a hl = fl 2 .2 = «3,3 = n , Ki ='h,z == £3,3 = — 2w, 

 e quindi 



n = 2» [Sto* + 2eU>) — («,» + e 2i + ? 33 ) 2 ] + \ (2tf à uj e uj f 



= a j,i ■ 



In questa espressione di tv la n e le a it j restano completamente arbitrarie. 

 2°. Nel secondo caso si richiede intanto che sia: 



«11 = «22 = «33 = 0 , a U j = 0 , bi,j = bj,i i=^=j; 



dalle (14) si deduce anche: 



«;,/+■'«/,*== 0 • iz ¥j 



e, quindi dalle (12) e (13): 



a u = a 22 = a 33 — n , b u = — 2n — 2 a% i+} , 

 b u + } — — 2 o^ +1 aj+i,£+2 • 2 = 1,2,3 



e restano arbitrarie le costanti n , ce lit , a 2 ,3 1 a i,\ ■ 



