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più vantaggioso per l' uniformità dell' indagine, prendendo a considerare il 

 gruppo G 6 di proiettività, che trasformano in se stessa la sfera immaginaria 

 x\ -\- x\ -\- x\ -\- \ = 0 nello spazio ordinario. Tale gruppo è generato ( x ) 

 dalle trasformazioni infinitesime: 



jji + ^i u 





p 3 -{-x 3 U , 







X\ fi — %ìfh 



o, ciò che è lo stesso, da: 

 Zj/^i^i + i^iU -\-i(x z p 3 — x 3 p 2 ) , T' 1 f=ip 1 -\-ix 1 \] — ^(x 2 p 3 — x 3 p 2 ) 



Z 1 /'=YÌ5 2 + ÌA' 2 U + i(^i— Xxp 3 ) , Zy=ÌJ52 + Ì XI — i {sC 3 p l —Xip 3 ) 



Z 3 /= 1^3 +>^ 3 U + \{%lPi—%%Pl) , Z' 3 /=.^3+Ì^3U — t(«27l^2 #2^l) 



la distinzione delle trasformazioni infinitesime del gruppo in due categorie 

 Zj/ (i = 1 , 2 , 3) e Z'j/" (/ — 1 , 2 , 3) corrispondendo alla circostanza che le 

 tre trasformazioni di ciascuna categoria determinano due sottogruppi inva- 

 rianti semplicemente transitivi, i quali trasformano in sè le singole genera- 

 trici, situate rispettivamente sull' una 0 sull' altra delle due serie rigate (im- 

 maginarie) r e r' appartenenti alla quadrica x\ -f- x\ -f- x\ -f- 1 = 0 . Le 

 trasformazioni Z/, che lasciano ferme le singole generatrici della serie r, 

 operano su T' (e le Tlf su T) come le proiettività binarie sopra la varietà 

 semplicemente infinita, e ciò collima con quanto s' è poc' anzi avvertito ; no- 

 tiamo ancora che, non solo Z/ (& = 1 , 2 , 3) e Z'jf (j — 1 , 2 , 3) sono sot- 

 togruppi invarianti, ma ben anco le singole trasformazioni Zf sono permuta- 

 bili colle Z'f. Tradotto in linguaggio analitico, ciò significa che valgono le 

 relazioni : 



(6) (Z i 7 t ' j )f=0 , (»,/ = Ì,2,3) 



le quali del resto si possono ovviamente verificare. 



Ritornando al gruppo G 3 di T, donde abbiamo preso le mosse, siamo 

 ora in grado di caratterizzarlo, dicendo che è simile a quel gruppo pro- 

 iettivo dello spazio ordinario, il quale trasforma in sè una serie rigata r 

 appartenente alla sfera immaginaria x\ -J- x\ '^\- x\ -J- 1 = 0 . Di qua si po- 

 trebbe ricavarne senza integrazione la espressione generale delle sue trasfor- 

 mazioni finite, poiché tali trasformazioni sono date, come si vede immedia- 

 tamente, dalle omografie biassiali, che hanno per assi una coppia qualunque 

 di generatrici coniugate di T'. 



(') Lie, ibidem, pg. 410. 



Rendiconti. 1896, Vol. V, 2° Sem. 



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