﻿Sarebbe facile verificare direttamente che le 2nf , Z 2 /, Z 3 / soddisfanno 

 alle relazioni: 



(5) (Z, Z 2 )/ = - Z 3 / , (Z 2 Z 3 )/ = — Z l f, (Z 3 Z 1 )/= — Z 2 / ; 



riesce tuttavia anche più semplice il riportarsi ad una proposizione di Jacobi (*), 

 secondo cui gli integrali delle aree (espressi a mezzo delle coordinate Xi e 

 delle variabili pi) sono legati da equazioni del tipo (5), non solo, ciò che si 

 constata immediatamente, per un sistema di punti liberi, ma eziandio per 

 un sistema di punti vincolati in modo qualunque, purché tale, si intende, 

 da conservare gli integrali delle aree. 



Proponiamoci di determinare la natura del gruppo, che trasforma in sè 

 stessa la forza viva di un corpo rigido, distinguendo all' uopo tre casi : 



a) i momenti principali di inerzia A , B , C sono fra loro diversi ; 



b) due momenti principali, p. es. A e B , sono eguali, ma distinti 

 dal terzo; 



c) i momenti principali di inerzia sono tutti eguali fra loro. 



In questa Nota trovano posto soltanto poche considerazioni generali re- 

 lative all' ipotesi a) ; alcune loro conseguenze e la discussione degli altri casi 

 sono rimessi ad altra Comunicazione. 



3. Caso a). — Si hanno, come è noto, i soli ( 2 ) integrali (4) linear- 

 mente indipendenti (cioè non legati da relazioni lineari a coefficienti co- 

 stanti); quindi la forza viva T ammette le sole trasformazioni infinitesime 

 indipendenti Zi/, Z 2 /, Z 3 /, le quali debbono per ciò costituire un gruppo Gr 3 

 a tre parametri. Questo vien messo in evidenza dalle (5), che determinano 

 in pari tempo la struttura (Zusammensetzung) di G 3 . Da essa direttamente ( 3 ) 

 potrebbe desumersi che il nostro gruppo è costituito come il gruppo proiet- 

 ct x ~\~ b 



tivo x' = x c s0 P ra la retta. Si può per altro riconoscerlo in modo più 



( 1 ) Werke, B. V., pag. 113. Giova avvertire che le (5) presentano un cambiamento 

 di segno rispetto alle formule di Jacobi, poiché noi, seguendo il sig. Lie, abbiamo posto 



%z,)/=z l z,/-z,z 1 /= y]*MìM_*M*Ml mentre q simbolo di Jacobi 



[_Zif , Z 2 /"] equivale a — (Z, Z 2 )/\ Cfr. anche: Mathieu, Dynamique analytique, pag. 243; 

 Mayer A., Weber die allgmeinen Integrale der dynamischen Diffgl. ecc. Math. Ann., 

 B. 17, 1880. Aggiungo che la proposizione di Jacobi potrebbe ricavarsi in modo elegante 

 come caso particolare di un teorema gruppale (Lie, Theorie, ecc., B. I., pg. 233). 



( 2 ) Tedone, Sopra i casi, in cui il problema del moto di un corpo rigido si riduc 

 alle quadrature. Nuovo Cimento, 1895. Veramente dalla ricerca del sig. Tedone risulta 

 che, quando A = B > C, esiste, oltre al sistema (4), il solo integrale lineare r = cost. 



Siccome però quest'ultimo non compete al caso generale, il nostro asserto si trova giu- 

 stificato. 



( 3 ) Lie, B. ni, pg. 713-717. 



