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1. Ricordiamo dapprima alcune definizioni. Per componenti del 1° 

 ordine della espressione differenziale fì(z), intendiamo le espressioni differen- 

 ziali seguenti: 



(2) Sì^z) = ap -{- bq -f- dz ; Sì 2 {z) = bp -\- cq -j- ez ; 



1' equazione del secondo ordine in u : 



to=^ + 2 ^+ 22«0_a ^-2 ^ 0 



f —a — 5 + 2o -+- c — ; + 2di — +2^ — 4-/^=0 



si dice aggiunta dell'equazione data, e le sue componenti: 



= «— -\-b— -\-d x u =bzr + ? — -j-eiU 



sono le espressioni aggiunte delle componenti fìj ed iì 2 



Un' equazione del secondo ordine e la sua aggiunta sono equivalenti, si 

 riducono cioè l' una all' altra con un cambiamento proporzionale di funzione 

 incognita, quando si abbia: 



~ò ( a(e l — e) — b(d, — d ) ) ~ò tòfa — e) — c(d, — d) ) 



(6) h= ^ì j \+tA -j r° 



dove J = ìr — ac. 



E perciò necessario e sufficiente cbe si possano determinare una solu- 

 zione co della equazione data ed una ju. dell'aggiunta, che soddisfino alle 

 due relazioni : 



(6) ju n^m) — co (D^/i) = 0 ; ix Sì 2 (w) — cù<t> 2 (n) — 0 



ed allora ad ogni soluzione z della (1) se ne può coordinare una della (3), 

 che insieme colla z soddisfi a due relazioni analoghe alle (6). 



La funzione H dei coefficienti della (1) è un invariante: non muta, 

 quando si muti proporzionalmente la funzione incognita : cambiando variabili 

 indipendenti si moltiplica per il determinante funzionale delle antiche varia- 

 bili in funzione delle nuove. 



2. Il teorema fondamentale della teoria delle trasformazioni differen- 

 ziali del 1° ordine è il seguente: 



(!) Darboux, LeQons sur la tkéorie... Voi. II, pag. 71 e ss. 



