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« Se z è l' integrai generale della (1), condizione necessaria e sufficiente, 

 « perchè un' espressione della forma: 



(7) 6 = az + ftp + yq 



« soddisfi, per ogni forma di z, ad un' equazione lineare del secondo ordine, 

 « è che 8 si annulli per due soluzioni particolari della equazione data, e sia 

 « determinata da questa condizione a meno di un fattore di proporzionalità. 

 « L' equazione, a cui in tal caso 6 soddisfa, appartiene alla medesima classe 

 « dell' equazione data e si riduee alla forma normale mi medesimo cambia- 

 li mento di variabili. 



« Vi sono però due casi di eccezione: 



« a) se l'equazione è del tipo iperbolico ed ha la forma normale: 



(8) s -|- ap + bq + cz = 0 

 « un' espressione 



6 = as -J- Pp (oppure 6 = az -f- yq) 



* soddisfa ad un' equazione analoga alla (8), o quando ne sia una trasformata 

 « di Laplace, oppure si annulli per una soluzione particolare dell' equazione 

 u stessa (trasformazione del Levy); 



« b) se 1' equazione è del tipo parabolico ed ha la forma normale : 



(9) r + 2ap + 2bq + ez — 0 . 

 « un'espressione: 



0 = -f- 0p 



« soddisfa allora ed allora soltanto ad un' equazione analoga, quando si an- 

 « nulli per una soluzione particolare dell' equazione stessa » . 



Queste trasformazioni si diranno singolari. Di più: 



« Ogni trasformazione differenziale del 1° ordine si ottiene, nel caso del 

 « tipo iperbolico, dalla composizione di due trasformazioni elementari: cioè 

 « una trasformazione di Laplace (e la sua inversa) ed una trasformazione 

 « del Levy: nel caso del tipo parabolico, componendo due trasformazioni 

 « singolari » . 



« Due trasformazioni differenziali del 1° ordine sono sempre permutabili « . 

 Questi risultati per le equazioni del tipo iperbolico sono dovuti al 

 Darboux ( ! ). 



Il metodo di dimostrazione del teorema fondamentale enunciato, fa co- 

 noscere, nel caso generale, due soluzioni particolari dell' equazione aggiunta 



( l ) Cf. Darboux, 1. e, pag. 177. 



