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a quella, a cui soddisfa la (7), una soluzione nel caso delle trasformazioni 

 singolari (eccettuata quella di Laplace); e si dimostra agevolmente che: 



« Indicando con P(#) = 0 1' equazione in 6, con Q(A) = 0 la sua equa- 

 « zione aggiunta, dalla Q(A) = 0 si passa alla 0{u) = 0 con una trasforma- 

 li zione differenziale del 1° ordine, che corrisponde alle soluzioni particolari 

 « della Q(À) = 0, a cui sopra abbiamo accennato » . 



Ne segue: 



« Quando per 1' equazione primitiva sia noto anche l' integrai generale 

 u della equazione aggiunta, altrettanto accade di ogni sua trasformata diffe- 

 « renziale del 1° ordine ; e l' integrai generale della equazione aggiunta della 

 - trasformata si ottiene da quello della Q>(u) — 0 con quadrature » . 



3. Il teorema fondamentale della teoria delle trasformazioni integrali 

 del 1° ordine è il seguente: 



« Ad ogni coppia di soluzioni oj ed u dell' equazione data e dell' aggiunta, 

 « corrisponde una serie semplicemente infinita (dipendente da una costante 

 « arbitraria e) di equazioni lineari del secondo ordine, trasformate integrali 

 « del 1° ordine della s, il cui integrai generale è dato dalla formula: 



(10) g> + «£ 



00 



k dove 



(11) 9= Jj 1*11,00 - «*,(«) +^r] d * - [ uS2 &) - d v ; 



* essendo: 



(12) — vco = J]ui2 2 (co) — w $> 2 (u)\ dx — ]uQi(co) — dy , 



« e dove s è la costante arbitraria da cui 1' equazione dipende » . 



Vi sono però a questo teorema due casi di eccezione, che portano alle 

 trasformazioni singolari: e precisamente: 



« Soltanto le equazioni del tipo iperbolico e parabolico ammettono delle 

 « trasformazioni singolari : e queste sono date, nel caso del tipo iperbolico, 

 « quando l'equazione abbia la forma (8), dalle formule : 



(13) <7 = J uSl 2 (z)dw -j- z ® 2 {u)dy , 



(14) t =JzQ 2 (u)dsc + uP- 2 {s)dy\ 



« e nel caso del tipo parabolico, quando l' equazione abbia la forma (9), 

 « dalla formula: 



(15) q = j \uSÌ 2 (z) — s® % {u)\ dx — \u Sii(s) — 2®i(u)\dy » . 



Rendiconti. 1896, Vol. V, 2° Sera. 



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