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Inoltre : 



« L' equazione trasformata integrale di 1° ordine della Sì(z) = 0. cor- 

 « rispondente alla coppia (cou), ha come aggiunta 1' equazione a cui soddisfa 



« la funzione — '—■^ ip, essendo ip la trasformata integrale della &(u) = 0 



zc 



« corrispondente alla coppia (im). La costante ha lo stesso valore in tutte 

 u due le equazioni » . 



Ne segue che per ogni trasformata integrale è noto anche l' integrai 

 generale dell' equazione aggiunta e quindi : 



« L' applicazione ripetuta del medesimo processo non richiede più che 

 « quadrature » . 



Da questi risultati, si ottengono, come casi particolari, le trasformazioni 

 finora note. 



Quando sia H = 0 e si prendano per eseguire la trasformazione due 

 soluzioni co ed u legate dalle (6), e si faccia inoltre t = 0, si ha la trasfor- 

 mazione del Moutard per le equazioni equivalenti alla loro aggiunta. 



Se 1' equazione data ammette la soluzione particolare s = 1, prendendo 

 m = l, u affatto arbitraria, si ha una trasformazione dovuta al Liouville, 

 ritrovata poi dal Burgatti per le equazioni del tipo ellittico ('). 



Tutte due queste trasformazioni sono involutorie. 



La trasformazione del Liouville gode di proprietà importanti, essa dà 

 come caso particolare quella del Moutard ; l' applicazione successiva della 

 medesima trasformazione non richiede più quadrature; ed infine: 



« Ogni trasformazione integrale del 1° ordine (non singolare) della 

 » = 0, si ottiene cambiando dapprima la funzione incognita nell' equa- 

 « zione data, moltiplicando la s per una soluzione particolare dell' equazione 

 u stessa ed eseguendo quindi sull'equazione così mutata la più generale 

 « trasformazione del Liouville » . 



E di qui segue: 



« Se (f è la trasformata integrale della iì(s) = 0, corrispondente alla 

 « coppia (w , u), la - si deduce dalla <p con una particolare trasformazione 



Cri 



« del Liouville ». 



Osserviamo infine il teorema, relativo alle trasformazioni singolari: 

 « Nei due casi iperbolico e parabolico, nei quali le trasformazioni 

 « singolari esistono, la trasformata integrale del 1° ordine più generale della 

 « Sì(g) = 0 si ottiene eseguendo su una trasformata integrale singolare una 

 « trasformazione differenziale singolare del 1° ordine, o inversamente ». 



(') Cf. E. Liouville, Formes intégrables des équations linéaires du secondordre(5owma\ 

 de TÉcole Polytechnique, LVI Cah. 1886, pag. 32 e ss. — P. Burgatti, Sulle equazioni 

 lineari alle derivate parziali del 2° ordine {tipo ellittico) etc. (Annali di Matematica, 

 Serie IP, Tomo XXIH, luglio 1895). 



