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Per il caso del tipo iperbolico, questo risultato è dovuto al Darboux('). 



4. Veniamo ora alle trasformazioni, differenziali ed integrali, di ordine 

 superiore. Il risultato, molto semplice, è dato dal teorema: 



« Ogni trasformazione differenziale od integrale, di ordine superiore al 

 « primo, si ottiene componendo delle trasformazioni del 1° ordine: e pred- 

 i' samente una trasformazione differenziale dell' ordine m si ottiene componendo 

 « delle sole trasformazioni differenziali del 1° ordine: una integrale, compo- 

 « nendo una trasformazione integrale del 1° ordine con altre differenziali. 

 a L' ordine di composizione è affatto arbitrario. 



« Due trasformazioni differenziali, una integrale ed una differenziale sono 

 « sempre permutabili. 



« Insieme con ogni equazione trasformata è noto anche l' integrai gene- 

 « rale della equazione aggiunta (quando lo sia per la primitiva); e si ottiene 

 « con quadrature da quello della <D{u) = 0 » . 



5. Le trasformazioni integrali singolari del tipo iperbolico danno, succes- 

 sivamente applicate, un metodo ricorrente, molto semplice, per costruire tutte le 

 equazioni lineari di questo tipo integrabili col metodo di Laplace, e pre- 

 cisamente : 



« L'applicazione illimitata delle trasformazioni singolari uer conduce 

 « dall' equazione elementare 



« a tutte le equazioni, per le quali la serie di Laplace è finita nei due sensi; 

 * partendo invece dalle equazioni più generali di rango nullo rispetto ad x 

 n o ad y: 



« a tutte le equazioni, la cui serie di Laplace è finita in un sol senso ». 

 E di qui segue: 



« Se un' equazione lineare del 2° ordine è integrabile col metodo di 

 « Laplace, il problema di Cauchy ad essa relativo è ricondotto alle quadrature » ; 

 un risultato già ottenuto dal Goursat per una via affatto diversa ( 2 ). 



(') Cf. Darboux, 1. e, pag. 183. 



( 2 ) Cf. Goursat, Sur une classe d'équations aux derìvées partielles du second ordre... 

 (Acta Mathematica, tomo XIX, pag. 314). 



S = 0 



