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sante, quando, come ora si suppone, A ^ B |2 C , il problema del moto è ridu- 

 cibile alle quadrature solo allora che il centro di gravità cade nel punto fìsso. 



Si ha una riprova della esistenza di due integrali lineari per le equa- 

 zioni (7'), moltiplicandole ordinatamente per aj -j- i^ , cc 2 «3 -f~ 

 ovvero per y l , y 2 , y 3 e sommando : In entrambi i casi il coefficiente di F è 

 identicamente nullo. 



5. Caso b). Suppongasi ora A = B. La espressione (2) della forza viva T 

 non muta, cangiando X\ in x 2 (e quindi x\ in x'%)\ essa ammette per 

 conseguenza, oltre alle trasformazioni infinitesime Z x f , Z 2 /, Z 3 f anche quelle, 

 che da esse si ottengono collo scambio di x x ,p x in x 2 ,p 2 . Così operando, 

 Z]/ e Z 2 f si permutano tra loro, ma Z 3 f diviene Z' 3 f; abbiamo dunque in 

 questo caso, oltre agli integrali (4), anche Z' 3 f = cost , che, in virtù delle (3), 

 assume il solito aspetto r = cost. Siccome poi (Tedone, loc. cit.) non vi è 

 alcun altro integrale lineare indipendente dai quattro accennati, così T am- 

 ammette le sole trasformazioni infinitesime Zi/ , Z % f , Z 3 f , Z' 3 f, che debbono 

 perciò costituire un gruppo G 4 a quattro parametri: Le (5) e (6) ce ne 

 danno conferma. Rispetto alla struttura di questo gruppo, si vede subito, con- 

 frontando col gruppo proiettivo G 6 (Zj/\ Z 2 /\ Z 3 /; Z\f , Z\f , Z' 3 f) della sfera 

 immaginaria : x\ -{- x\ -f- x\ -j- 1 = 0 , che Gr 4 vi è contenuto, mentre con- 

 tiene come sottogruppo invariante (in causa delle (6) ) il G 3 (Zj/ , Z 2 / , Z 3 f) 

 corrispondente all'ipotesi generale A ^ B g C. Sotto 1' aspetto geometrico il 

 G 4 può ritenersi individuato dalla condizione di trasformare in sè la quadrica 

 x\ -\- x\ -j- x\ + 1 = 0 , lasciando ferme due generatrici della serie T (a 

 differenza del G 3 , che ne lascia ferme tre e quindi tutte). 



Ogni sottogruppo co 2 di Gr 4 , come si desume dalle considerazioni della 

 Nota precedente, determina un caso di integrabilità delle equazioni differen- 

 ziali del movimento ; per G 3 si avevano soltanto dei sottogruppi e quindi dei 

 potenziali immaginari, qui ne troviamo anche di reali, tutti però, come ora 

 verificheremo, sostanzialmente conosciuti. 



È manifesto dapprima, in virtù delle (6), che le due trasformazioni in- 

 finitesime : 



e l z l f '+ c 2 z 2 f ■+ C3Z3/ , zy 



costituiscono, per qualunque valore delle costanti ài,Ct,c s , un sottogruppo 

 di G 4 , talché ogni integrale V del sistema completo: 



Cl Z,V + c 2 Z 2 Y -j- c 3 Z 3 Y = 0 

 Z' 3 V = 0 ' 



assunto a funzione delle forze, conduce per un corpo di rivoluzione (0 più ge- 

 neralmente di cui 1' ellissoide di inerzia relativo al punto fisso sia di rivo- 

 luzione) a equazioni del moto integrabili per quadrature. Sarebbe poi facile 

 riconoscere che i potenziali reali V, corrispondenti a sottogruppi 00 2 di G 4 , 

 sono tutti contenuti nella formula (8). 



