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Quanto alla forma di essi, avremo in coordinate euleriane, a tenore 

 delle (3'): 



dopo di che la prima equazione (8) ci dà: 



, .ìT , / cos# cos# . \1V 



(_,, sen <f+c 2 cos 9 ) — + (- Cl cos 9 — sen 9 — + c 3 ) — = 0 , 



il cui integrale generale è: 



V = Fi (ci sen # cos g> -}- Co - seD ^ sen y -j- <? 3 cos &) , 



con F L funzione arbitraria. 



Se si osserva che l' argomento Ci sen # cos <p -j- e 2 sen # sen 9) -f- c 3 cos ^ 

 può interpretarsi come la componente, secondo l'asse mobile delle s di un 

 vettore costante in grandezza e direzione, si è indotti a immaginare l' asse 

 fisso delle £ parallelo a quel vettore, ciò che riduce 1' espressione di V a 

 ¥1 (c 3 cos #) — F (cos forma di potenziale ben nota, che conviene in par- 

 ticolare al caso di un corpo pesante, il cui centro di gravità sia situato sul- 

 l'asse di rotazione dell' ellissoide di inerzia, relativo al punto fìsso. 



.6. Caso c). Quando i tre momenti di inerzia sono tutti eguali, si pos- 

 sono scambiare le coordinate X\ , x 2 , x 3 senza che il valore (2) di T rimanga 

 alterato; ne deduciamo che, insieme a Zi/, Z 2 /, Z 3 /\ T ammette le trasforma- 

 zioni infinitesime 71 \f, 7/ 2 f, Z' 3 /* e per conseguenza il gruppo G 6 da esse 

 complessivamente costituito ; ma un gruppo siffatto è (anche nel campo reale) 

 simile a quello dei movimenti in geometria ellittica si può dunque a 

 priori asserire che la varietà <P di elemento lineare ds = \' 2 T dt 2 è a cur- 

 vatura costante positiva. Del resto, a conferma di ciò, è facile attribuire al 

 ds di <X> la forma canonica ( 2 ) degli spazi a curvatura costante positiva. 



Si ha infatti dalla (2) per A = B = C : 



4A , i 



2T = — \{x x+xzx » — x- 2 x 3 )--\-(x ì-^X^X 3 — XzX\f-\-{x' 3 -\-X z x\ — # 1 #' 2 )*j = 



^Ul+xl+xl)x'l+(l+xl+xt)x'l+(l+xt+xl)x'l -2x 2 x 3 x 2 x 3 — 2x 3 x x x' 3 x\ — 2x ì x 2 x\x'À 

 4A 



— S(o" 2 — #iWl-\-( a 2 — xV)x'\-\-{p' 1 — x\)x l— 2x 2 x 3 x' 2 x' 3 — 2x 3 x l x' 3 x\—2x 1 x 2 x' l x' 2 i= 



4.A 



^Wl + xì + x'l-o' 2 \, 



come volevasi dimostrare. 



(') Lie, ibidem, B. Ili, pag. 479, si cfr. anche la recente Memoria del prof. Bianchi 

 Sulle superfìcie a curvatura nulla in geometria ellittica, Ann. di Mat., anno presente. 



( 2 ) Beltrami, Teoria fondamentale degli spazi di curvatura costante, Ann. di Mai, 

 T. 2, 1869, pag. 253. 



