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Inoltre, risguardando le forme Z^f , Z 2 f , Z 3 f come simboli di trasformazioni 

 infìntesime, ciascuna di esse sarà ammessa dalla forza viva T del sistema 

 materiale S ( ] ), e complessivamente, in causa delle (3), costituiranno un 

 gruppo r 3 , a tre parametri, (perchè, come vedremo, le Zf non possono 

 essere legate da relazioni lineari a coefficienti costanti), il quale trasforma T 

 in sè stessa. 



Ciò posto, notiamo in primo luogo che le forme Z x f, Z 2 f, Z 3 / possono 

 non essere tutte e tre indipendenti ; per altro due almeno sono tali. Qualora 

 infatti si avesse per es : 



Z 2 f=X%f, Z 3 f^=7tZ l f ì 



si dedurrebbe dalle (3) : 



Z 1 A.Z 1 / = — nZif , (IZiTt — nZ ì X)Z ì f = —Zi/ , Z 1 7t.Z 1 f=XZ 1 f, 

 e quindi: 



Z x l = — rc , AZjTr — ttZjA = — 1 , Zi/t = X , 



ossia anche: 



X* -f 7T* = — 1 , 



il che è assurdo, poiché ^ e tt dovrebbero in ogni caso, come Z x f, Z2/, Z 3 /, 

 essere fimzioni essenzialmente reali. 



Ci restano pertanto due soli casi da esaminare : 



I. Le forme Zf sono tutte e tre indipendenti. 



II. Due Zf sono indipendenti, la terza essendone una combinazione 



lineare. 



2. Nella prima ipotesi, cui ora vogliamo riferirci, il gruppo r 3 , gene- 

 rato dalle Zf, riesce transitivo ed è quindi, come si sa ( 2 ), simile ad ogni 

 altro gruppo isomorfo pure transitivo e nello stesso numero di variabili. In 

 particolare possiede questa proprietà il gruppo G 3 spettante alla forza viva di 

 un corpo rigido ( 3 ), le cui trasformazioni infinitesime (assumendo come coor- 

 dinate lagrangiane i parametri di Rodrigues) possono essere scritte : 



Yyf=\\(i+y\)ih +{—y* + yiyt)pt + {3it + yiy*)p* \ 

 V=2j(y» + ytf»)i'i + +(— Vi + v*y*)p*\ 



Y 3 /=2-j(— y* + v&*)Pi -\-(yi + y*ys)pz +(i + yl)^s }• 



I gruppi r 3 e Gr 3 sono dunque simili ; esiste cioè un cambiamento di variabili : 

 (4) q, = f x {y x , y 2 , y 3 ) , q 2 = f 2 (y x , y 2 , y 3 ) , q* = f*(lfi , y% , ys) , 



(1) Ibidem, § 1. 



( 2 ) Lie, Theorie der Transformationsgruppen, B. I, Theor. 64, pag. 340. 



( 3 ) Sul moto di un corpo rigido intorno ad un punto fisso, § 2. 



