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(la cui ricerca esige al più l'integrazione del sistema completo Z,/-j- Y/= 0 

 («'=1,2, 3)), che fa passare dalle trasformazioni infinitesime Zi/, Z 2 /, Z 3 / 

 alle Yi/,Y 2 /,Y 3 /; anzi, per essere le Yf legate da relazioni identiche 

 alle (3), si può asserire che le (4) trasformano ordinatamente Zi/ in Y Y f, 



liif in Y 2 f , Z 3 / in Y 3 f. La forza viva T , espressa per le nove variabili y, 



1 3 



diverrà : T = - y rs b, s y' r y's , le b essendo certe funzioni delle y , che ci 



2 i 



verrà fatto ben presto di caratterizzare, valendoci della circostanza che la 

 forma quadratica - ^> b rs y'r y's deve ammettere tutte le trasformazioni del 



^ l rs 



gruppo Gr 3 . Questa proprietà fondamentale di T si può esprimere , dicendo 

 1 3 



che T = - - £_ rs b rs y'r y's è un invariante del gruppo G 3 , esteso alle velo- 

 « i 



dv ' 



cità ~ , ossia, come è ben noto, integrale di un certo sistema completo : 



(5) Y,/=0 , Y 2 /=0 , Y 3 /=0 



(con tre equazioni distinte e sei variabili indipendenti), che ommetto, per 

 brevità, di scrivere distesamente, osservando invece addirittura che le tre fun- 

 zioni : 



: i = % | yì + m'« — y*y'z j , h = ^ j y' 2 + yiy's — m/ | > 



dove è i 2 ~l-f~yi~t~Z/2-j-<!/3, costituiscono una terna di integrali indipen- 

 denti del sistema ('), talché T dev'essere una funzione dei soli argomenti 

 Ix , L> , I 3 . Siccome le I sono lineari e omogenee nelle x , si avrà identi- 

 camente : 



1 3 1 3 



T = g ZrA« V'rV '* = 2 Z-s^ rs ^ ' 



le C rs essendo costanti il cui determinante : 



V r. r n _ ^11^^3 3 L*y + i h h 



/ Vii V22 ^33 1 q Z— W H y22 W 33 



8 



1 



y* 



— 2/2 





— 2/3 



1 



yi 





y* 



— yi 



1 



è positivo. 



(!) Si può accertarsene tanto mediante diretta verifica, quanto, e più comodamente, 

 notando che la forza viva di un corpo rigido: 



7, | My\ + ytft - y*y'*Y + B(y', + y,y\ - y»y\) + C(y\ + y^', - j 



ammette il gruppo G 3 , per modo che, qualunque sieno i valori delle costanti A, B, G, 

 il trinomio precedente è integrale delle (5). Ciò implica appunto che separatamente li, I 8 , I a 

 sieno integrali. 



