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donde : 



1 + + *«(/») = 0 , 



il che è assurdo. 



Dopo ciò si conclude che le trasformazioni infinitesime Z,/,Z 2 /,Z 3 /, 

 sono anche in questo caso indipendenti e generano quindi un gruppo r' 3 a 

 tre parametri (intransitivo), che dico essere simile al gruppo G' 3 , le cui tras- 

 formazioni infinitesime sono: 



legate, come le Z/,da relazioni del tipo (3). 



Per la dimostrazione, basterà notare che le condizioni generali di simili- 

 tudine fra due gruppi di trasformazioni ( l ) sono soddisfatte nel caso nostro, 

 poiché G' 3 ha la medesima struttura di r' 3 e, delle sue trasformazioni infi- 

 nitesime Y/, Y x f e Y 2 / sono indipendenti, mentre Y 3 / risulta tale combi- 

 nazione lineare — — Yif — — Y 2 / delle prime due, che, avuto riguardo alle 



cose dette, le equazioni : ,« — — — , v — — ^— sono compatibili e si possono 



risolvere tanto rispetto a due delle variabili q J quanto rispetto a due delle 

 variabili y. 



Esiste adunque un cambiamento di variabili: ( 2 ) 



(8) q x = cp, (y l , y 2 , y 3 ) , q 2 = y 2 (y, , y, , y 3 ) , q 3 = (f 3 {y, , y 2 , y 3 ) , 



atto a far passare dalle trasformazioni infinitesime Zi/, Z 2 /,"Z 3 / alle Yi/, 

 Y 2 /, Y 3 / rispettivamente. 



1 3 



Indicando con - V rs § rs y' r y' s V espressione della forza viva T, dopo ese- 



guita la trasformazione (8), si osserverà, come nel caso precedente, che 

 1 3 



y', y's deve essere un invariante del gruppo G' 3 (esteso alle velocità) 



^ i 



e quindi, come si verifica senza difficoltà, una funzione dei soli argo- 

 menti y\ -)- y\ -{-yl , y'\ + y\ -f y'i , y^', + y 2 y\ + y 3 y' 3 : Se ne conclude 

 che la più generale espressione di T è : 



(!) Lie, Theorie ecc. B. I, Theor. 65, pag. 353-354. 



( 2 ) In questo caso se ne hanno infiniti, che si possono ottenere (Lie, loco citato, § 91) 



ponendo = — v = — — e y\ -\- y\ + y% eguale all' integrale generale del sistema 

 .V 3 Ih 



completo Zi/=0, Z 2 /'=0: Tale ricerca esige infondo, come si vede subito, al più l'in- 

 tegrazione di una equazione differenziale ordinaria. 



Rendiconti. 1896, Vol. V, 2° Sem. 22 



