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sarà: 



quindi : 



£ 2 -f- 10? + 5 = — + 12/£ 3 + 14/t 2 — 12£ + 1 



e: 



da cui: 



f 8 + 10£ — 12 f 



C?3 



+ 5 = 0 



nota equazione modulare per la trasformazione del quinto ordine. 



2°. Se non che la equazione y n = 0 la quale anche pel caso di n = 6 

 darebbe : 



pei casi successivi condurrebbe ad equazioni dei gradi 2° , 3° ... in h , e 

 quindi la eliminazione presenta difficoltà non lievi. 



Il sig. Greenhill, nel suo interessante lavoro, Pseiido-Elliplic Integrals 

 and their Dynamical Applications (') le ha d' assai diminuite sostituendo 

 ad h e k funzioni di due nuove quantità per le quali la equazione y» = 0 

 si abbassa di grado. 



Ora, supposto che per questa via dai valori di p(y) , p(2y) ... e da quello 

 di 6 si elimini g ed una di quelle quantità, si otterranno per p(v) , p(2y) ... 

 espressioni formate con una sola indeterminata. D' altra parte le p(y) , p(2y) 

 come è noto, sono radici di una equazione, di cui il polinomio primo membro 

 figura nella forinola di trasformazione. È evidente che la ricerca del valore 

 della indeterminata in funzione degli invarianti di quel polinomio equivale 

 alla risoluzione della menzionata equazione, equazione risolubile per radicali, 

 qualunque ne sia il grado, perchè Abeliana. 



Considereremo nei paragrafi seguenti i tre casi di n = 7 , n = 9 , n — 13 ; 

 nel primo la equazione risultando del 3° grado 1' unico invariante è il di- 

 scriminante J ; nel secondo la equazione è del 4° grado e si hanno i due 

 invarianti A,B quadratico e cubico; infine nel terzo la equazione è del 

 grado 6° e si hanno gli invarianti A , L , M , R dei gradi 2°, 4°, 6°, 15° ed 

 il discriminante J . 



3°. Sia n = 7 , si ha : 



(i) Proceedings of the London Mathematical Society, Voi. XXV, 1893, 1894. Vedi 

 anche dello stesso autore, The Transformation ani Division of Elliptic Functions. Pro- 

 ceedings, Voi. XXVH, 1896. 



h — Jc(\ — k) 



Y , = h 2 — hk + k 3 



