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Infine, dalle (1) si ha pure che, se è = 0 , sarà 

 Q ì r ì = <fh h = ìi ; 



epperò, le (1) conservano, punto per punto, l'iperpiano n h . Tutte queste 

 proprietà dimostrano la verità dell'asserzione testé fatta (')• 



2. Prendiamo un gruppo di m relazioni come le (1), ottenute con m iper- 

 piani uf, ... , ufcli't uf\ ... , u l ^ +ì ; ... ; til m) , ... , ; ma, per semplicità di 

 scrittura, scriviamo (r) al posto di u {r) , e sopprimiamo (perchè ciò non darà 

 luogo a confusione) gli indici i; indi, componiamo successivamente la l a con 

 la 2 a , il risultato ottenuto con la 3 a , e così via, le m sostituzioni 



XI) 



(2) " — T v/c ^(2); 



t)(m) 



avremo, indicando con Ri , R 2 , ... , R TO siffatte sostituzioni (proiezioni di </> su 

 se stessa) e scrivendo — g> rq al posto di Y q { — , quanto segue : 



(') Si può dare alle formule (1) un'altra forma, non meno elegante, nella quale ap- 

 pariscono le coordinate del centro di proiezione. Infatti, dette hi le coordinate del polo V h 



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dell' iperpiano Ui (h) (t = 1 , 2 , ... , n -j- 1), possiamo scrivere Wi< h > = — — (£=1,2,... ,n-\-\), 



£ òhi 



dalle quali seguono le altre hi= r- ^ (i = 1 , 2 , ... , n + 1). Ma è g>h =-j y~«i (ft) ^ , 

 dunque sarà: 



e le formule (1) diventano, perciò, le seguenti: 



(i=l,2,...,«-fl) ) 



ovvero, poiché è A =|= 0 , 



(10 = *vXi - hi fi* (i= 1 ,2,... ,» + 1) . 



Formule analoghe a queste, per n = 3, furono date dal Cayley nella sua Nota : On the 

 Homographic Trans formation of a surface of the second order into itself (Philosophical 

 Magazine, voi. VI, 1853, o anche Mathematical Papers, voi. II) ; ma l' eminente geometra 

 non accenna al modo come vi pervenne, mentre che la via da noi seguita ha il vantaggio 

 di mostrare come sotto le medesime formule, diversamente interpetrate, si hanno le trasfor- 

 mazioni doppie in un n-spazio, cui son congiunte delle involuzioni di Hirst, come si vedrà 

 dalla lettura della nostra cit. Memoria. 



