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le formule della sostituzio R T R T ... R T Rt, , nell'intesa che i simboli 



»i m— 1 Si, ' 1 ' 



| r r , t r \ si comportino precisamente come i simboli analoghi fatti coi soli in- 

 dici, sicché sia p. es. \v x , T i\—^r~\ • 



4. Dalle (15) si scorge che, mentre il 1° sommatorio al 2° membro è 

 un'espressione simmetrica rispetto alle </>, tale non è il 2°; ciò vuol dire 

 che, condizione necessaria e sufficiente affinchè le Ri , R 2 , ... , R OT diano 

 luogo ad una sola trasformazione risultante, in qualunque modo vengano 

 composte, è che si abbia, visto che possiamo riferirci ai soli indici dei nu- 

 meri T, 



<i6) r B *f-'fej£^L = o 



per i = 1 , 2 , ... , n -f- 1. Ma ciò deve aver luogo indipendentemente dalle 

 ufi perciò le condizioni precedenti valgono le seguenti 



«jpi 2 |l,l|i = 0 \ 

 5P 2 ^3...SP /i _ 1 (p lft |l,l| i +y3...g) A _ 2 5P 2A |2,2|i-| \-(p m -i,m\ h—l,h—l\f—0) 



e queste a loro volta, come si può facilmente mostrare, valgono le altre 



(A=3,4,..,m); 



v — 1,2,... ,m — 1 



(1/1 5Pr,r+« = -IM , 



Non ci fermeremo a mostrare la verità di quest' ultima affermazione, 

 perchè ne discorriamo anche nella cit. Mem.; però rileviamo subito che le 

 condizioni (17) esprimono essere i centri P, , ... P m delle m proiezioni, co- 

 niugati 2 a 2 rispetto a (p = 0, cioè essere i punti Pi , ... , P m vertici di 

 una piramide auto-polare rispetto a q> = 0. Ora, una siffatta piramide 

 non esiste che per m^n-{-\. 



Rileviamo inoltre che le formule 



ih) 



s i — Si / 



(i8) r l ~ fe^^ ft> 



(* = 1,2,...,» 4-1) 



abbracciano tutte le omografie involontarie i cui spazi fondamentali sono 



polari rispetto alla varietà quadratica <p, quando si faccia che m abbia i 



n — f- 1 n 

 valori da 1 ad — £ — se « è dispari, e da 1 ad - -4- 1 se n è pari. E pre- 



cisamente, le (18) rappresentano un'omografia involutoria i cui spazi fon- 

 damentali sono l'S m -i dei punti Pi,..., P™ e V S„_ m determinato dagli 

 iperpiani tc^ , ... , n m (*). 



(') Non verificandosi tutte o qualcuna, delle condizioni (17) si può osservare che per 

 m<C.n le (13) rappresentano un'omografia che ha due spazi di punti uniti, l'uno adwj — 1 

 dimensioni, e l'altro ad n — m dimensioni, polari rispetto a f = 0. 



