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5. Per vedere in che senso le forinole precedenti possano convenire a 

 rappresentare le trasformazioni del gruppo dei raggi reciproci in qualsiasi 

 spazio, basta prendere cp nella forma seguente 



(19) (p = u\ + u\ -j (- u%-i — 4 Un u n+ì ; 



poiché, allora a parte un fattore numerico, si avrà per la forma reciproca 



(20) ®xx == <%\ ~\~ %\ ~\~ "" ~f~ ^n— i S'n+i 



ed allorché questa si annulla le sc x , x 2 , ... , x n , x n +i sono coordinate car- 

 tesiane omogenee del punto a cui si riduce la varietà sferica di equazione 

 [nelle yi (i = 1 , 2 , ... , » — 1) considerate come coord. cart. in un S w — i ]] , 



. 2_ 2/ 2 re _j -4- 2 y_ Xi yi + ^ M = 0 , 



1 1 



quando il suo raggio \l <P XX : x n -i si annulla. Ora, l' annullarsi della (20) dice 

 che cp — 0 è una varietà quadratica [tangente all' Sn_i all' infinito nell' S n sup- 

 posto euclideo (paraboloide per n = S)7\; dunque, le formule (14), o le altre 

 ad esse equivalenti, danno nel medesimo tempo il gruppo delle trasforma- 

 zioni che provengono dalle omologie armoniche commutabili col sistema 

 polare rispetto ad una quadrica in uno spazio ad n dimensioni , ed il 

 gruppo delle trasformazioni che provengono dalle inversioni in uno spazio 

 ad n — 1 dimensioni; cioè la geometria che ha per base il gruppo delle 

 omologie armoniche commutabili con un sistema polare, non nullo J in un 

 certo spazio È identica alla geometria che ha per base il gruppo delle 

 inversioni in uno spazio ad un numero di dimensioni di una unità infe- 

 riore ('). Questa proposizione che credo sia stata per la prima volta enun- 

 ciata da Klein in forma alquanto diversa, si presenta qui in una forma ana- 

 loga a quella con cui analiticamente si presenta il principio di dualità in 

 qualsiasi spazio, giacché è uno stesso sistema di formule che fornisce i 2 

 gruppi. Del resto, al fatto importantissimo (non sfuggito ad altri, ma sul 

 quale è sempre bene di tornare) che l' identità fra diverse quistioni geome- 

 triche (ciò che si presenta spessissimo) possa essere dedotta dalla lettura in 

 più modi di uno stesso sistema di formule, io ho fatto cenno anche nelle mie 

 Lezioni di geom. proiett. ed analitica, stampate a Modena, pei tipi della So- 

 cietà tipografica. 



(') Questo enunciato mostra essere inesatta la proposizione che il prof. Loria riporta dal 

 Mannheim in piè della pag. 251 del suo libro: II passato ed il presente delle principali 

 t'.orie geometriche, cioè che il prodotto di quante si vogliano inversioni è un'inversione; 

 ma siffatta inesattezza risulta in modo evidente dal fatto che, in generale, A , B essendo 

 operazioni involutorie (o non) è AB =j= BA. Del resto, si sa, limitandosi p. es. alle trasfor- 

 mazioni nel piano, che la successione di 2 (generalmente di un numero pari) trasforma- 

 zioni per raggi vettori reciproci non altera il verso delle figure. 



