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« nel caso della equazione (16), non potranno dove sono diverse da zero entro C 

 « avere sempre lo stesso segno » ; e quindi « se le particolarità delle equazioni 



« stesse (10) e (16) portassero che dove le quantità U, — , — fossero di- 



~òsc ~ò y 



« verse da zero le quantità stesse H avessero un medesimo segno si dovrà 

 « concludere che dall' essere U = 0 sul contorno di C ne verrà che U sia 

 « zero in tutto C ». Ciò sempre bene inteso quando U e le altre funzioni 

 a, b, c, ... debbano essere regolari in tutti i punti di C (incl. il contorno). 



4. E così evidentemente si può senz' altro affermare che se una equazione 

 a derivate parziali del 2° ordine: 



(20) P(«,y,*,_p, q,r,s, t) = 0 



dove p, q, r, s, t, secondo le notazioni di Monge, indicano appunto le derivate 

 della funzione z di oc e y, è tale che indicando con z x e s 2 due suoi integrali, 

 la loro differenza ~U = z x — z 2 è un integrale di una equazione (10) o (16) 

 per la quale le quantità H vengano a soddisfare alle condizioni precedenti 

 entro C, allora « gli integrali z della equazione stessa (20) saranno perfetta- 

 « mente determinati in tutto il campo C quando siano dati i loro valori al 

 « contorno, e in tutto C (il contorno incluso) tanto gli integrali quanto le varie 

 k funzioni che compariscono nella equazione data debbano essere regolari ». 

 « E se queste particolarità non si verificheranno che in porzioni speciali del 

 « piano {x, y), il teorema varrà soltanto pei campi C che cadono in queste 

 « porzioni di piano » . 



5. Questi risultati, che appariscono ora sotto una forma molto compli- 

 cata a causa della complicazione che si ha nelle espressioni di H, danno luogo 

 a conseguenze semplici e notevolissime. 



Si osservi per questo dapprima che quando le quantità H dove fossero 



diverse da zero presentassero la particolarità di avere sempre lo stesso segno, 



si può senza limitare la generalità supporre che siano positive, perchè ove 



non lo fossero basterebbe cambiare il segno di tutta la equazione data 



(10) o (16); e si osservi inoltre che quando questa equazione abbia il termine 



D 2 TJ ~S 2 U / 7) 2 U \ 2 

 in — - — - — I I , limitandosi a quei campi C nei quali il coefficiente h 



~òw ~iy \èx~òy ) 



di questo termine non è mai zero, si potrà sempre, quando si voglia, sup- 

 porre di averlo ridotto al caso di h = =*= 1 , bastando per questo dividere 

 la equazione per h, o per — h secondochè h in C sarà positiva o nega- 

 tiva; ma noi qui, non volendo possibilmente introdurre pel campo C la li- 

 mitazione ora indicata, cioè quella di dovere richiedere che in C non sia 

 mai h = 0, non ci varremo di questa osservazione altroché quando ciò sia 

 necessario per certe semplificazioni che occorresse fare nelle forinole, o quando 

 il campo C sia già dato e si sappia che in esso h è diverso da zero. 



