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quindi evidentemente se determiniamo m colle forinole: 



(25) m = AC + A, d , » = BC + B x Ci , 



i valori (21) di H prenderanno la forma seguente: 



<*> ( A f + B f+ cu ) ! + ( A -I+ B 'f + °' v )'+ 



nella quale C e C x sono arbitrari, come lo è ancora una delle due fun- 

 zioni cp e 6. 



Ma, profittando ora delle arbitrarietà cbe abbiamo in queste funzioni, 

 si vede subito cbe se s' indica con % una quantità, costante o variabile, ma 

 regolare, e sempre diversa da zero in tutti i punti interni a C, allora prese 

 arbitrariamente due delle quantità C, Ci, <p, 6 si potranno determinare le altre 

 due in modo che il coefficiente di IP in H sia eguale ar (');e quindi evi- 

 dentemente si può ora affermare che le quantità H saranno diverse da zero 

 e positive in tutto C, a meno che non sia sempre U = 0, se il termine /L U 

 nella espressione (21) di H non sarà mai negativo entro C. 



(') Considerando ad es. il caso in cui 'kv — [i 2 non è mai zero entro C, con che lev 



li 



non saranno certamente zero, potremo prendere 0 = 0, C t = 0 con che sarà cos cp = =t ~7=, 



m = AC, » = 0 e A non si accosterà a zero più di un certo numero ; e quindi determi- 

 neremo il valore di m e in conseguenza anche quello di C integrando la equazione 



* m 1 , ,1 

 ^-±> m% = *-^ 



Nè pei nostri teoremi farà difficoltà l'ipotesi ammessa da noi che i coefficienti della 

 equazione data (10) o (16) possano contenere U e le sue derivate; perchè ammesso anche 

 che esistesse una funzione U integrale della equazione stessa che, pure essendo zero sul 

 contorno di C, non fosse zero nell'interno di questo campo e ivi fosse regolare, applicando 

 le forinole precedenti a questa funzione speciale U si giungerebbe agli stessi risultati e 

 si cadrebbe in contradizione. 



E del resto bastando pei nostri teoremi che nella espressione (21) di H il coefficiente di U 2 

 sia sempre positivo e discosto da zero per una quantità comunque piccola e positiva e, per 



modo cioè che sia Ai-t-^— — j~ 2 m 2 ^s, e dovendo entro C la U essere sempre finita in- 



sieme alle sue derivate prime e seconde, si vede chiaro che se si indicano con A 0 2 e ?, i limiti 

 inferiori dei valori che si hanno per A 2 e per l x entro C per valori qualsiasi di U e 

 delle sue derivate che non superano in valore assoluto quantità comunque grandi ma fì- 



?W£ — 1 



nite, basterà che si determini m colla equazione - — = — -t- e -+- — »i 2 , con che risul- 



ìoc A 0 2 



terà determinata anche la parte del piano nella quale, restandovi regolare m, potrà esservi 

 preso sempre il campo C. 



Se poi si avesse h> — fi 2 = 0, senza che fossero A = i' = i u = 0, questo processo con 

 leggiere modificazioni si applicherebbe ugualmente. 



Rendiconti. 1806, Vol. V, 2° Sem. 50 



