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Se poi X e v entro C, pur non cambiando segno non fossero mai po- 

 sitivi, allora pel termine in U 2 in H si giungerebbe alle stesse conseguenze 

 sostituendo però — r 2 a t 2 , e perchè i teoremi continuassero a sussistere 

 bisognerebbe che i termini X 2 U in H non fossero mai positivi entro C. 



E così in particolare, intendendo ora che la espressione (21) di H sia 

 appunto la (18), si vede subito che se nel caso della equazione (10) la 

 quantità corrispondente l 2 determinata dalla (14) (che potrà quindi essere 

 anche la stessa l) sarà zero in tutto C, o se, nel caso della equazione (16) 

 sarà zero il g 0 , o queste quantità l % (o l) e g 0 potranno ridursi zero con 

 opportune trasformazioni, basterà assicurarsi che il determinante della forma 

 (22) corrispondente, cioè di : 



(27) (a + 



^>V ~ì>y )X~òccJ \ !>x ~òy ~òx ly ) !>x ~ìy 



è positivo o zero in tutto C , per essere certi che l' essere U = 0 sul contorno 

 porta che U sia zero in tutto il campo, tanto nel caso della equazione (10) 

 quanto in quello della equazione (16). E in corrispondenza sussiste il teo- 

 rema della unicità degli integrali della equazione (20) quando sono dati i 

 valori al contorno. 



In questo caso poi di l s = 0 o g 0 = 0 non vi è da occuparsi in modo 



speciale del segno dei coefficienti di (r— ) o ( — ) nella forma (27), ma 



\ox / \^>y ) 



basta assicurarsi che questo non cambia mai entro C. 



6. Considerando ora in modo speciale la forma ridotta (27), osserviamo 



che il suo determinante sarà: 



28) ac — b 2 -\-h ]a — ; + 2£ \- e — r + ^ I — ; r — I 1 \\ + 



+ U fl — : + 2b h C — — + U ( ; — r — ( ) 



1 ( i>x 2 mi® i>y* s yòx 2 i>y 2 Yèyìyj J 

 ( ~òx 2 ~òy 2 ~òx l>y ~òx ~òy ~òy 2 ìx 2 



e a seconda dei valori di h che evidentemente, fuori che nel caso in cui h = 0 

 in C, possono variarsi a piacere perchè la equazione data (10) o (16) può 

 intendersi moltiplicata per un fattore finito qualsiasi, avremo per questo 

 determinante diversi valori. 



Nel caso particolare di h == 0, cioè quando la equazione data manca del 



~òx 2 !>y 2 



dei coefficienti dei primi tre termini della equazione data; fuori di questo 



u 7> 2 U / VU \ 2 



termine in —j — - — I — — I questo determinante si riduce a quello ac — b 2 



~òy \~òxìy/ 



