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In tutte queste espressioni poi quando le equazioni che si considerano 

 rientrino nella forma (16) bisognerà fare: 



l = 2dì^- + 2 e]^--\- g~U — g 0 , l 2 = — g 0 ; 



oTi oy 



d) e così quando la equazione data abbia la forma (16) e manchi del 



. . yu / vu v . . 



termine m ■ — : — - — I ) cioè sia: 



~ìx 2 l>y 2 \ì>xl>y) 



(31) a — 7-\-2b + c — -A-2>d -f-2«- — ■ 4- gì] = g 0 ; 



l>x 2 ' ìxìy T l>y 2 ' Ttó? n Tu? 



<i allora le condizioni del caso a) si riducono all' essere uno almeno dei coeffi- 

 « cienti a e e, e le due quantità ae — b 2 e g 0 U sempre positive o nulle nel 

 « campo G » . 



~ò 2 \] 7> 2 U / D 2 U \ 2 



e) Invece se la equazione data ha il termine in — - - — - — |— j , 



l*y \~òxy^l 



... . yu vu . , . . . 



ma manca di quelli in — ; , , — -= , cioè se essa ha la forma : 



!>x 2 T>x7>y !sy 



« riducono all'essere una almeno delle derivate — - o — - , e le due quan- 

 di/ 



« tità — /, — l 2 \J , o le due — ( — ) , — / 2 U sempre positive 



\l>xly / 



che corrisponde ad a — b = c — 0 , h = \ , allora « le condizioni del caso b) si 



7) 2 U 7) 2 U 

 l>x 2 ~òy 2 



yu j 2 U 

 ìv 2 V 

 o nulle nel campo C ». 



7. Per ognuno di questi casi poi è da osservare che quando non è cono- 

 sciuto anticipatamente l' integrale U della equazione data al quale questi risul- 

 tati vogliono applicarsi, 1' esame dei segni delle quantità da considerarsi pre- 

 senterà difficoltà gravissime per la presenza dello stesso integrale U e delle 

 sue derivate ; però si comprende che per speciali composizioni dei coefficienti 

 delle equazione data (10) o (16) potrà anche talvolta questo esame farsi sem- 

 plicemente; e potrà anche darsi che venga semplicizzato dalla natura stessa 

 del problema al quale la equazione data si riferisce. 



Così ad es. se questa equazione si riferisce a superficie speciali, la cir- 



ì 2 U ~ò 2 \J / ~ò 2 JJ \ 2 

 costanza che il segno del binomio - — - 2 - — - — ( — — ) corrisponde preci- 



samente a quella della curvatura della superficie, potrà giovare per V esame 

 del segno delle quantità che dovremo considerare. 



Nel prossimo fascicolo sarà dato il seguito di questo studio. 



