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meglio ci tornerà comodo, e prenderle ad esempio uguali a zero o ad altre 

 quantità date, e poi determinare G colla integrazione di una equazione a de- 

 rivate parziali in modo che il detto coefficiente di U 2 risulti diverso da zero 

 e positivo in tutto C ; e ciò evidentemente anche nel caso in cui i coefficienti 

 della forma (22) o (27) fissero tutti nulli, o fossero nulli a, b, c eh; dal 

 che apparisce anche che i risultati precedenti si estendono, sotto certe con- 

 dizioni, anche alle equazioni a derivate parziali del primo ordine. 



E di questa possibilità di determinare il fattore G in modo da rendere 

 soddisfatte certe condizioni speciali, ci si può anche valere per sostituire alla 

 forma (27), quando ad es. i suoi coefficienti siano tutti zero, o il loro deter- 

 minante prenda anche valori negativi, un'altra forma i cui coefficienti o il 

 cui determinante presentino date particolarità ; però non bisognerà trascurare 

 di osservare che le nuove condizioni da soddisfare potranno far sì che il va- 

 lore di G venga a presentare qualche singolarità entro C, al che però potrà 

 talvolta rimediarsi sostituendo al campo C una porzione determinata di esso. 



Supponendo ad es. di partire da una equazione della forma (10) o (16) 

 nella quale h sia data o sia ridotta ad essere una costante, se avverrà che 

 i coefficienti della forma corrispondente (27), cioè di : 



vengano ad essere zero o avere un determinante negativo J in qualche punto, 

 linea, o porzione superficiale di C, colla introduzione del fattore G alla forma 

 stessa verrà sostituita 1' altra : 



( Qa + Gh ^ + no t^)' + 2 (gì - G* ^ - 



\ n V 1 ~òy 2 J \ ice ì 1 V W# 



ìx^y) ìx ìy ' \ 1 7w 1 l>x 2 /\l>y/ 

 il cui determinante J x sarà: 



e se si vorrà che questo determinante J x abbia un certo valore speciale 

 dato D H bisognerà colla integrazione di una equazione a derivate parziali 

 di 2° ordine determinare G in modo che si abbia J 1 = D 1 ; ma ciò eviden- 

 temente potrà portare che G debba avere qualche singolarità entro C. 



Ammettendo ad es. che sul contorno s di C la U sia zero, e tale non 

 sia D! , e anzi sia Di ^> 0 , bisognerà evidentemente che sul contorno stesso 

 G o le sue derivate siano infinite; ma se sul contorno sarà D! = 0, allora non 

 è da escludere che si possa soddisfare entro C alla equazione J 1 = J) 1 con 



