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sul contorno valori dati, allora si può dire che quando con un processo qual- 

 siasi si riesca a trovare una funzione X pure regolare in C che sul contorno 

 abbia appunto quei valori, se avverrà che col porre U = X -j- z la equazione 

 trasformata in z (36) soddisfi alle condizioni del § 6, la stessa funzione X 

 sarà l' integrale richiesto, il quale perciò sarà unico. 



13. Risultati notevoli si hanno pure se si considera la trasformazione 

 U = X -]- /x2 , con l e fi funzioni delle sole x e y; poiché nel caso ad es. 

 della equazione (38) se prenderemo per X un integrale particolare della equa- 

 zione stessa (38) e per ,u un integrale dell' altra che si ottiene da questa 

 col sopprimervi il 2° membro, la equazione trasformata in z mancherà del 

 termine in z e di quello indipendente da z. 



Più generalmente poi si potrebbe considerare la trasformazione TJ-—f(x,y,z) 

 dove f(x,y,z) rispetto a z è una funzione razionale intera di grado qual- 

 siasi n ; e determinandone opportunamente i coefficienti come funzioni 

 di ce e y si potrebbe far sì che la equazione trasformata venisse ad avere 

 proprietà speciali. Così ad es. prendendo per f(x,y,z) una funzione di 2° 

 grado X -j- \iz -f- rz 2 con X , ,u , v funzioni di x e y da determinarsi, allora 

 sotto certe condizioni rispetto ai coefficienti a ,b , c ... , nella equazione tra- 

 sformata in z della (38) si faranno sparire anche i termini in p e q , e 

 questa si presenterà sotto la forma: 



(ar + 2bs -f et) (/< + 2vz) -f- 2{ap 2 -f 2b\xq -\-cq) v = Q; 



e nel valore (21) di H applicato a questa equazione, la forma (22) diverrà la 

 seguente : 



H — p.{ap 2 -j- 2bpq -{- cq 2 ) . 



Però è da notare che con queste trasformazioni, pure essendo regolare 

 entro C la funzione U , potrà non esserlo la corrispondente funzione z ; e 

 quindi il giungere a concludere che non esistono funzioni regolari z di x e y 

 entro C che siano integrali delle equazioni trasformate non permetterà, senza 

 altre considerazioni, di trarre la stessa conclusione per la funzione U. 



14. In generale poi è da notare che quando in una equazione a deri- 

 vate parziali di qualsiasi ordine in U si fa la trasformazione U = f(x , y , z), 

 si può come nei casi precedenti dare avanti la funzione f e proporsi la de- 

 terminazione di z in funzione di x e y in modo da soddisfare alla equazione 

 trasformata, come si può invece, dandosi anticipatamente questa funzione 

 z{x , y), proporsi di determinare la funzione /, di tre variabili x ,y , z consi- 

 derate come indipendenti, in modo da soddisfare la equazione trasformata 

 stessa riguardata come una equazione a derivate parziali in /. Nel primo caso 

 essendo allora data f come funzione dei punti dello spazio, il problema viene 

 ad equivalere a quello di cercare su quale superficie z = z(x , y) la funzione 

 data dei punti dello spazio f(x , y , z) diventa una funzione che ha le par- 

 ticolarità stabilite dalla equazione che si considera; nel secondo caso invece 



