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si cerca la funzione f dei punti dello spazio che su una superficie data 

 z==g(x,y) ha le particolarità che vengono dalla equazione stessa. 



Invece poi di trasformazioni che fanno di endere la funzione U da un'altra z , 

 si potrebbero fare cambiamenti delle variabili indipendenti x e y in altre 

 u e v ; ma noi non ci fermeremo su questi. 



15. Aggiungiamo che i risultati ottenuti finora vengono a riferirsi più 

 specialmente a equazioni (10) o (16) per le quali ac — b 2 >0; ma per la 

 presenza di l e g 0 nelle forinole (18) o (19) che danno i valori di H , e 

 per le considerazioni generali del § 5, si comprende che potranno talvolta 

 estendersi anche a casi nei quali questa condizione di ac — b 2 > 0 in tutto C 

 non sia soddisfatta. 



Così ad es. quando questo avvenga, ma l abbia la forma: 



è evidente che la forma di 2° grado (22) in — , — che si ha nella espres- 



5 v ' ìx ~òy v 



sione (21) di H, si ridurrà alla seguente: 



< a -«>(f)+ 2( ^,ff + ,-^y 



e il suo determinante {a — a) (c — y) — (b — fi) 2 , a seconda dei valori che 

 avranno a , fi ,y potrà non essere mai negativo nel campo C , e i teoremi 

 precedenti potranno essere applicabili. 



16. Tutti questi risultati suppongono l'esistenza di integrali della equa- 

 zione data (10) o (16) che siano regolari in tutto il campo C (il contorno 

 incluso) o nella porzione di questo campo che si considera; e come è noto i 

 problemi relativi all' esistenza degli integrali medesimi in generale presen- 

 tano gravi difficoltà, e sono risoluti soltanto per casi speciali. 



È poi da notare (sèmpre sotto questa restrizione relativa alla esistenza 

 della funzione integrale U regolare entro C ) che i teoremi relativi alla uni- 

 cità dell' integrale stesso si estendono anche a numerosi altri casi nei quali 

 si hanno altre condizioni al contorno diverse da quella di essere dati i va- 

 lori di U sul contorno stesso. 



Se si osserva infatti che nella forinola (15) sotto l'integrale del se- 

 condo membro figura il prodotto LU , si vede subito che per la validità dei 

 teoremi che abbiamo dato sull' essere zero U in tutto C , non importa che 

 sul contorno sia zero U, ma basta che lo sia il prodotto LU ; e quindi, sempre 

 « sotto le condizioni dei § 6 e seg. essi varranno anche quando si sappia 

 « che sul contorno stesso è zero L e non si sappia nulla di U , o quando 

 « si sappia che su una parte del contorno è zero U e sull' altra parte è 



