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» zero L ; e in corrispondenza si avranno altri teoremi sulla unicità della 

 « funzione integrale delle equazioni (20) quando siano date altre condizioni 

 « speciali al contorno » . 



E così supponendo ad es. che si tratti delle equazioni della forma (16), 



nel qual caso secondo le formole del § 3 si ha L = L -f- dTJ — 4- eU — , 



~òp ~òp 



dove L è dato dalla (13), basta osservare che — = — — ±1 — 1^ p er 



v ' ìp !>s Dp t 



vedere subito che L può porsi sotto la forma : 



L = a + * I H I + c 4- 



7>x ~òp yì>y ìp 1 ~òx ~òp) ~òy ~òp [ 



r~/D 8 UDU _ ~ò*TJ DTJ\ 7>z , _/_ 1 2 U -aU , D 2 U 7)U\ Hy~\ _ 



1 LW 2 ^ ^ / ^ \ ^ 2 ~*y ì ~*P-\ 



_ iV ±m^_4.m_ iV u2ì + ii_ 2m _ 2d \^ + 



Ds ( l>x l>y l>y l>x) ( yòx ~òy } 1p 



+ — + — — 2^— 2é? ) — [ , 



nella quale il fattore che moltiplica h può anche scriversi ^ 



quando — non sia zero; e di qui si scorge subito come si potrebbero in- 



~òX 



dicare vari casi notevoli nei quali a seconda dei dati relativi al contorno 

 si avrà L = 0 su tutto o parte del contorno stesso. 



In particolare ponendoci nel caso delle equazioni di tipo ellittico 

 a = c = 1 , b = h = 0 considerate dai signori Bianchi e Picard, siccome 

 si avrà: 



L = ^ + (m-M)^-(» + e)^, 

 ~òp ' v n ' Dp v n ' Tip 



e può sempre prendersi (§8) m = — d, n— — e, si potrà senz'altro 

 concludere che l' integrale delle equazioni della forma : 



— ? 4- — r + 2tó — -4- 2e — 4- = g 0 



~òx ' T)?/ 2 



* è completamente determinato almeno in campi speciali quando su una 

 « parte del contorno è data la funzione U, e siili' altra parte è data la de- 



« rivata rispetto alla normale — ». 



~òp 



17. Passiamo ora a dare altre applicazioni delle formole (2) e (3). 



