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cibile alle quadrature. Ma se l' equazione proposta è della forma più generale 



(1)A^+2B— + C- 2 + D- + E- + F^ = 0, (AoC + O) 



w Dx 2 ' l>x l>y ~òy ~òx ~ìy 



il criterio noto non vale più, ed è necessario allora di cimentarsi colle diffi- 

 coltà che presenta la riduzione alla forma (0) di Laplace, senza sapere a 

 priori se tale riduzione condurrà ad una equazione immediatamente integra- 

 bile. Mi è sembrato perciò utile la ricerca d" un criterio facile e generale 

 per riconoscere se un' equazione del tipo (1) sia riducibile ad una forma inte- 

 grabile con un cambiamento di variabili. 



1. Sia proposta l'equazione (1), ove si suppone almeno uno de' coeffi- 

 cienti A e C diverso da zero. Operando il cambiamento di variabili 



% = £{x,y) , ij = jj 0* , y) , 

 si trova una nuova equazione lineare 



< 2 > A 'Ì + 2B '^V c 'H + D 'ì + E 'T, + r '* = 0 ' 



nella quale i coefficienti hanno le espressioni: 



yòx) r ìxTty 1 \òyj 



~òx ~òx \~òx~òy ~òy~ò%} ~ìy~ìy 



\lxj~ ~òx ~òy \~byl 



d , = a2!I+2B^ + c2!I + d^+e^, 



~òx 2 1 ~ìx ~òy 1 ~òy 2 1 ~òx 1 Dy 



~òx 2 1 ~òx ~òy ~òy 2 ' ìx 1 ~òy 

 Una espressione formata coi coefficienti dell' equazione data e colle loro 

 derivate si dice un invariante quando, operato un cambiamento qualunque 

 di variabili, la medesima espressione formata coi coefficienti della trasformata 

 è uguale alla precedente a meno di un fattore dipendente dalla sola trasfor- 

 mazione. Si giunge alla determinazione di un invariante operando sulle (3) 

 nella maniera qui appresso indicata. 



Se diciamo Aj e A 2 le due radici, che supporremo distinte, dell' equazione 

 A A 2 — 2BP. + C-=0, (A 4=0) 

 le espressioni di A 1? B x e C\ si possono scrivere così: 



\7>x* liyjyòx 1 Dy/ 

 1 \ìx^ ly)~ \^ 2 7)|/A^ l>yì 



